[论文解读] A new fractional derivative and its fractional integral with some example

Fahed Zulfeqarr, Amit Ujlayan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的分数阶导数——可变形导数，通过参数 α ∈ [0,1] 的极限定义，该导数同时推广了函数本身及其普通导数。文章建立了可变形导数与普通导数之间的线性关系，证明了罗尔定理、中值定理和泰勒定理的类比形式，并定义了相应的分数阶积分；该框架成功求解了线性分数阶微分方程，表明在变换下与经典常微分方程等价。

ABSTRACT

A new derivative, called deformable derivative, is introduced here which is equivalent to ordinary derivative in the sense that one implies other. The deformable derivative is defined using limit approach like that of ordinary one but with respect to a parameter varying over unit interval. Thus it could also be regarded as a fractional derivative. Reason of calling it as deformable derivative is because of its intrinsic property of continuously deforming function to derivative. This is substantiated by its linear connection to function and its derivative. Besides discussing some of its basic properties, we discover the forms of Rolle's, Mean Value and Taylor's theorems. The fundamental theorem of calculus for this fractional derivative could be taken as definition of its fractional integral. As a theoretical application some fractional differential equations are solved.

研究动机与目标

• 提出一种新的分数阶导数——可变形导数，能够平滑地在函数与其普通导数之间插值。
• 建立可变形导数的严格数学框架，包括其与经典导数的关系。
• 将经典微积分定理——罗尔定理、中值定理和泰勒定理——推广至可变形导数的语境。
• 定义相应的分数阶积分算子，并证明其在求解分数阶微分方程中的基本作用。
• 通过求解具有解析解的线性分数阶微分方程，展示可变形导数的实际应用价值。

提出的方法

• 将可变形导数 D^αf(t) 定义为极限形式：lim_{ε→0} [(1+εβ)f(t+αε) - f(t)] / ε，其中 α+β=1。
• 推导关键恒等式：D^αf(t) = βf(t) + αDf(t)，表明 α-可微性与普通可微性等价。
• 证明普通导数的存在性蕴含可变形导数的存在性，反之亦然。
• 引入分数阶积分算子：I^α_a f(t) = (1/α) e^{(-β/α)t} ∫_a^t e^{(β/α)x} f(x) dx。
• 建立可变形导数的微积分基本定理，证明 D^α 与 I^α_a 互为逆算子。
• 通过将线性分数阶微分方程转化为标准一阶常微分方程，应用该框架求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 α 从 0 变化到 1 时，可变形导数的几何与物理意义是什么？
• RQ2 可变形导数与经典分数阶导数（如黎曼-刘维尔或卡普托导数）有何关系？
• RQ3 罗尔定理、中值定理和泰勒定理能否在可变形导数框架下被推广？
• RQ4 可变形导数与普通导数之间的精确关系是什么？
• RQ5 可变形导数如何用于求解分数阶微分方程？其解析解是什么？

主要发现

• 可变形导数满足 D^αf(t) = βf(t) + αDf(t)，证明了 α-可微性与普通可微性等价。
• 可变形导数在 α=0 时平滑插值为函数本身，在 α=1 时插值为普通导数，且对两者呈线性依赖。
• 建立了罗尔定理、中值定理和泰勒定理在可变形导数框架下的类比形式，将经典微积分推广至该分数阶设定。
• 分数阶积分算子 I^α_a f(t) 被定义为可逆于可变形导数，满足微积分基本定理。
• 通过将线性分数阶微分方程转化为标准常微分方程，求得其解；例如，D^{1/2}y + y = te^{-t} 的解为 y(t) = Ce^{-3t} + (t - 1/2)e^{-t}。
• 对于方程 D^{α₂}[D^{α₁}y] = 0，通解为 y = C₁e^{-(β₁/α₁)t} + C₂e^{-(β₂/α₂)t}（当根不同时），或 (C₁ + C₂t)e^{-(β/α)t}（当根重复时）。