[论文解读] A New Fractional Derivative with Classical Properties

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用 161

一句话总结

本文提出了一种通过独立变量的指数缩放极限定义的新分数阶导数，该导数满足所有经典微积分性质——线性性、乘积法则、商法则、链式法则、罗尔定理与中值定理——且在 α=1 时退化为经典导数。其主要贡献在于提出了一种行为良好的分数阶导数，保留了基本微积分法则，从而实现了非整数阶的一致微积分体系。

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative which obeys classical properties including: linearity, product rule, quotient rule, power rule, chain rule, vanishing derivatives for constant functions, the Rolle's Theorem and the Mean Value Theorem. The definition, \[ D^α(f)(t) = \lim_{ε ightarrow 0} \frac{f(te^{εt^{-α}}) - f(t)}ε, \] is the most natural generalization that uses the limit approach. For $0\leq α< 1$, it generalizes the classical calculus properties of polynomials. Furthermore, if $α= 1$, the definition is equivalent to the classical definition of the first order derivative of the function $f$. Furthermore, it is noted that there are $α-$differentiable functions which are not differentiable.

研究动机与目标

• 为解决现有分数阶导数存在的不一致性问题，例如无法满足经典微积分法则（如乘积法则与链式法则）。
• 开发一种可推广至非整数阶（特别是 0 < α < 1）的分数阶导数，使其保持经典微积分性质。
• 定义一种在 α = 1 时退化为经典导数的分数阶导数。
• 建立满足微积分基本定理的逆分数阶积分。
• 探讨新导数的几何与物理意义，以及其在非可微函数中的适用性。

提出的方法

• 通过极限定义提出新分数阶导数：$\mathcal{D}^{\alpha}(f)(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(t e^{\epsilon t^{-\alpha}}) - f(t)}{\epsilon}$，该定义推广了经典导数。
• 建立新导数的连续性与可微性性质，表明 α-可微性蕴含连续性。
• 证明新导数满足经典微积分法则：线性性、乘积法则、商法则、链式法则，且常数函数的导数为零。
• 通过迭代导数将定义扩展至 α ∈ (n, n+1] 的高阶分数阶导数。
• 定义分数阶积分为 $\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)(t) = \int_{a}^{t} \frac{f(x)}{x^{1-\alpha}} dx$，并证明其为分数阶导数的逆运算。
• 证明对于连续函数有 $\mathcal{D}^{\alpha}(\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f))(t) = f(t)$，从而确认其逆关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种分数阶导数，使其满足所有经典微积分法则，包括乘积法则、商法则与链式法则？
• RQ2 当 α = 1 时，新分数阶导数是否精确退化为经典导数？
• RQ3 新导数能否扩展至 α ∈ (n, n+1] 的高阶分数阶导数？
• RQ4 是否存在一种对应的分数阶积分，可作为新分数阶导数的逆运算，并满足微积分基本定理？
• RQ5 新分数阶导数的几何或物理意义是什么，尤其是其与黎曼-刘维尔导数和卡波托导数不同的原因？

主要发现

• 新分数阶导数满足所有经典微积分法则：线性性、乘积法则、商法则、链式法则，以及常数函数导数为零的性质。
• 常数函数的导数对所有 α ∈ (0,1] 均为零，解决了以往分数阶导数的关键不一致性问题。
• 函数 $t^n$ 的导数为 $n t^{n-\alpha}$，推广了经典幂函数法则。
• 当 α = 1 时，新导数精确退化为经典一阶导数：$\mathcal{D}^{1}(f)(t) = t^{0} \frac{df}{dt}(t) = \frac{df}{dt}(t)$。
• 分数阶积分 $\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)(t) = \int_{a}^{t} \frac{f(x)}{x^{1-\alpha}} dx$ 是分数阶导数的逆运算，对连续函数满足 $\mathcal{D}^{\alpha}(\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)) = f$。
• 存在 α-可微但非经典可微的函数，例如 $f(t) = 3t^{1/3}$，其在 t > 0 时满足 $\mathcal{D}^{1/3}(f)(t) = 1$，尽管在 t = 0 处不可微。