[论文解读] A new Galois structure in the category of internal preorders

Alberto Facchini, Carmelo Antonio Finocchiaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在精确范畴 C 中的内预序范畴 PreOrd(C) 中建立了新的预挠理论 (Eq(C), ParOrd(C))，证明了到内偏序的反射子具有稳定单位，从而诱导出一个可接受的格罗滕迪克伽罗瓦结构。当 C = Set 时，这在 PreOrd(Set) 中产生了一个单调-光亮分解系统，通过亚历山德罗夫离散空间和分划拓扑提供了拓扑解释。

ABSTRACT

Let $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$ be the category of internal preorders in an exact category $\mathbb C$. We show that the pair $(\mathsf{Eq}(\mathbb C), \mathsf{ParOrd}(\mathbb C))$ is a pretorsion theory in $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$, where $\mathsf{Eq}(\mathbb C)$ and $\mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$) are the full subcategories of internal equivalence relations and of internal partial orders in $\mathbb C$, respectively. We observe that $\mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$ is a reflective subcategory of $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$ such that each component of the unit of the adjunction is a pullback-stable regular epimorphism. The reflector $F:\mathsf{PreOrd}(\mathbb C) o \mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$ turns out to have stable units in the sense of Cassidy, Hébert and Kelly, thus inducing an admissible categorical Galois structure. In particular, when $\mathbb C$ is the category $\mathsf{Set}$ of sets, we show that this reflection induces a monotone-light factorization system (in the sense of Carboni, Janelidze, Kelly and Paré) in $\mathsf{PreOrd}(\mathsf{Set})$. A topological interpretation of our results in the category of Alexandroff-discrete spaces is also given, via the well-known isomorphism between this latter category and $\mathsf{PreOrd}(\mathsf{Set})$.

研究动机与目标

• 在精确范畴 C 中的内预序范畴 PreOrd(C) 中建立预挠理论 (Eq(C), ParOrd(C))。
• 证明从 PreOrd(C) 到 ParOrd(C) 的反射子 F: PreOrd(C) → ParOrd(C) 具有稳定单位，从而诱导出一个可接受的范畴伽罗瓦结构。
• 在 C = Set 的特殊情况下刻画由此产生的单调-光亮分解系统。
• 通过 PreOrd(Set) 与亚历山德罗夫离散空间范畴之间的同构，提供拓扑解释。
• 将预序的代数结构与拓扑性质（如 T0 分离性及分划拓扑）联系起来。

提出的方法

• 通过内等价关系子范畴 Eq(C) 和内偏序子范畴 ParOrd(C) 在 PreOrd(C) 中定义预挠理论 (T, F)。
• 证明包含映射 ParOrd(C) ↪ PreOrd(C) 是反射的，且其单位的分量为保持拉回的正则满射。
• 证明反射子 F 在 Cassidy、Hébert 和 Kelly 意义下具有稳定单位，从而蕴含一个可接受的伽罗瓦结构。
• 刻画由伽罗瓦结构诱导的分解系统 (E, M)，其中 E 由 F 所反转的态射组成，M 由平凡覆盖组成。
• 将情形特化到 C = Set，证明反射在 PreOrd(Set) 中诱导出一个单调-光亮分解系统 (E′, M*)，其中 E′ 由具有平凡纤维拓扑的保持拉回的正则满射组成。
• 利用 PreOrd(Set) 与亚历山德罗夫离散空间范畴 Alex 之间已知的同构，将代数结果转化为拓扑术语，特别是将预序关系与拓扑及 T0/分离性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当范畴缺乏零对象时，如何在 PreOrd(C) 中定义预挠理论？
• RQ2 从内预序到内偏序的反射子在何种条件下具有稳定单位？
• RQ3 在 PreOrd(Set) 中，由反射诱导的单调-光亮分解系统的结构是什么？
• RQ4 预序的代数性质如何与亚历山德罗夫离散空间中的拓扑性质相关联？
• RQ5 由拓扑诱导的预序在何时成为等价关系？这对其拓扑意味着什么？

主要发现

• 对 (Eq(C), ParOrd(C)) 在 PreOrd(C) 中构成一个预挠理论，其中 ParOrd(C) 是一个反射子范畴。
• 反射子 F: PreOrd(C) → ParOrd(C) 具有稳定单位，从而确保诱导出的伽罗瓦结构是可接受的。
• 当 C = Set 时，反射在 PreOrd(Set) 中诱导出一个单调-光亮分解系统 (E′, M*)，其中 E′ 由具有平凡纤维拓扑的保持拉回的正则满射组成。
• 在 PreOrd(Set) 中，态射 f: A → B 属于 M* 当且仅当 f 的每个纤维在子空间拓扑下都是 T0 空间。
• 对于亚历山德罗夫离散空间，由拓扑诱导的预序是偏序当且仅当该空间是 T0 空间；是等价关系当且仅当该拓扑是分划拓扑。
• 亚历山德罗夫离散空间范畴 Alex 具有一个预挠理论 (PartAlex, T0Alex)，其中 PartAlex 由具有分划拓扑的空间组成，T0Alex 由 T0 空间组成，其到 T0Alex 的反射由将具有相同闭包的点进行等价类商化给出。