[论文解读] A New General-Purpose Method to Multiply 3x3 Matrices Using Only 23 Multiplications

Nicolas T. Courtois, Gregory V. Bard+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 16被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新的通用方法，通过仅使用23次标量乘法来实现3×3矩阵乘法，方法是将底层的Brent方程转化为SAT问题，并使用500个SAT求解器的组合进行求解。作者发现了一种新颖的非交换解法，该解法在数学上被证明与Laderman于1976年提出的原始方法以及所有此前已知的解法均不等价，显著扩展了已知的解空间，从而大大提高了未来发现22次乘法解的可能性。

ABSTRACT

One of the most famous conjectures in computer algebra is that matrix multiplication might be feasible in not much more than quadratic time. The best known exponent is 2.376, due to Coppersmith and Winograd. Many attempts to solve this problems in the literature work by solving, fixed-size problems and then apply the solution recursively. This leads to pure combinatorial optimisation problems with fixed size. These problems are unlikely to be solvable in polynomial time. In 1976 Laderman published a method to multiply two 3x3 matrices using only 23 multiplications. This result is non-commutative, and therefore can be applied recursively to smaller sub-matrices. In 35 years nobody was able to do better and it remains an open problem if this can be done with 22 multiplications. We proceed by solving the so called Brent equations [7]. We have implemented a method to converting this very hard problem to a SAT problem, and we have attempted to solve it, with our portfolio of some 500 SAT solvers. With this new method we were able to produce new solutions to the Laderman's problem. We present a new fully general non-commutative solution with 23 multiplications and show that this solution is new and is NOT an equivalent variant of the Laderman's original solution. This result demonstrates that the space of solutions to Laderman's problem is larger than expected, and therefore it becomes now more plausible that a solution with 22 multiplications exists. If it exists, we might be able to find it soon just by running our algorithms longer, or due to further improvements in the SAT solver algorithms.

研究动机与目标

• 寻找一种使用仅23次标量乘法的新非交换3×3矩阵乘法解法，以超越1976年Laderman提出的长期经典方法。
• 通过扩展23次乘法问题的已知解空间，探索是否存在22次乘法的解。
• 开发并应用一种新颖的基于SAT的方法，以求解控制矩阵乘法算法的Brent方程高度复杂的方程组。
• 确定新解与先前已知解（包括Laderman和Johnson-McLoughlin家族）在结构和代数上的不等价性。
• 证明23次乘法的3×3矩阵乘法的解空间比以往认为的要大，从而提高发现22次乘法解的可行性。

提出的方法

• 作者将3×3矩阵乘法的729个三次方程（Brent方程）系统转化为布尔可满足性（SAT）问题。
• 首先在模2下求解SAT问题，然后将解提升到模4，通常可得到在任意环上的通用解。
• 使用约500个SAT求解器及其变体的组合来搜索解，并对编码过程进行了广泛调优和优化。
• 该方法包括系统性变换，如索引置换、对A、B、C矩阵的循环移位、转置、缩放以及使用可逆矩阵进行夹逼，以探索解的等价性。
• 通过基于秩的不变量对解进行验证和比较：即A、B和C系数矩阵中秩为3的矩阵的数量和分布。
• 该方法结合计算代数与自动化推理，探索了潜在矩阵乘法算法的庞大组合空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发现一种使用恰好23次乘法的新非交换3×3矩阵乘法解法，其结构上与Laderman原始解法明显不同？
• RQ2 3×3矩阵乘法在23次乘法下的解空间是否显著大于以往所认为的，特别是从非等价算法结构的角度来看？
• RQ3 基于SAT的转换与求解流程是否能可靠地生成Brent方程的合法通用解，用于固定大小的矩阵乘法问题？
• RQ4 新解在A系数矩阵中仅包含两个秩为3的矩阵（而Laderman的解包含六个），这是否表明其具有根本不同的代数结构，从而为寻找22次乘法解提供启示？
• RQ5 现代SAT求解器与算法编码在多大程度上可被用于求解计算代数中的困难组合问题，如矩阵乘法的张量秩最小化问题？

主要发现

• 作者成功发现了一种使用仅23次标量乘法的新非交换3×3矩阵乘法算法，该算法与Laderman原始方法不等价。
• 新解在A系数矩阵中恰好包含两个秩为3的矩阵，而Laderman的解包含六个，从而证明了其结构上的不等价性。
• 该解与Johnson和McLoughlin此前发现的无穷多个两两不等价的解均不等价，因为他们的解最多只包含一个秩为3的矩阵。
• 基于SAT的方法在几天内仅使用单个CPU便成功生成了有效解，证明了该计算方法求解复杂代数问题的可行性。
• 该发现证实，23次乘法的3×3矩阵乘法的解空间远比以往认为的要大，从而显著提高了存在22次乘法解的可能性。
• 结果表明，通过延长运行时间或使用改进的SAT求解器，未来不久可能发现22次乘法的算法，从而推进快速矩阵乘法领域长期存在的猜想。