[论文解读] A new generalized prime random approximation procedure and some of its applications

Frederik Broucke, Jasson Vindas|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2021

Meromorphic and Entire Functions参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型广义素数随机逼近方法，可构建Beurling素数系统，对素数计数函数与给定目标函数F之间的差异实现极佳控制，达到 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2。该方法在DMVZ概率方案基础上实现改进，实现更紧密的误差界，进而用于解决关于Dirichlet级数唯一零点、具有良好行为的广义数系，以及具有大振荡的Beurling zeta函数等开放问题。

ABSTRACT

We present a new random approximation method that yields the existence of a discrete Beurling prime system $\mathcal{P}=\{p_{1}, p_{2}, \dotso\}$ which is very close in a certain precise sense to a given non-decreasing, right-continuous, nonnegative, and unbounded function $F$. This discretization procedure improves an earlier discrete random approximation method due to H. Diamond, H. Montgomery, and U. Vorhauer [Math. Ann. 334 (2006), 1-36], and refined by W.-B. Zhang [Math. Ann. 337 (2007), 671-704]. We obtain several applications. Our new method is applied to a question posed by M. Balazard concerning Dirichlet series with a unique zero in their half plane of convergence, to construct examples of very well-behaved generalized number systems that solve a recent open question raised by T. Hilberdink and A. Neamah in [Int. J. Number Theory 16 05 (2020), 1005-1011], and to improve the main result from [Adv. Math. 370 (2020), Article 107240], where a Beurling prime system with regular primes but extremely irregular integers was constructed.

研究动机与目标

• 开发一种改进的随机逼近方法，生成广义素数系统，其在经典DMVZ方法基础上实现显著提升的误差控制。
• 解决Beurling数论中的开放问题，特别是关于在收敛半平面内具有唯一零点的Dirichlet级数的存在性问题。
• 构建满足Hilberdink和Neamah近期提出的条件的具有良好行为的广义数系。
• 在先前构造的具有规则素数但高度不规则整数的Beurling系统基础上实现改进，实现素数计数函数中差异有界的控制。

提出的方法

• 该方法通过为素数系统 𝒫 = {p_j} 赋予一种新型分布规则的随机变量来构建离散广义素数系统，其与DMVZ方法在根本上不同，从而实现对 πₚ(x) − F(x) 的更紧密控制。
• 采用一种改进的概率方案，确保在 F 为非减、右连续、无界且满足Chebyshev界 F(x) ≪ x/log x 的条件下，对所有 x ≥ 1 都有 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2。
• 该构造被推广至非绝对连续的测度 dF，使方法可应用于奇异或非光滑的目标函数。
• 对于连续 F，该方法生成严格递增序列，且满足 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 1，从而在光滑设定下实现更高精度。
• 该方法依赖于一个新指数和的界：|∑_{p_j ≤ x} p_j^{−it} − ∫₁ˣ u^{−it} dF(u)| ≪ √x + √(x log(|t|+1)/log(x+1))，在保持DMVZ估计强度的同时，实现更紧密的计数控制。
• 该方法被调整以通过应用于目标函数 Π_c(x) 和 π_c(x) 来构造特定素数系统，这些函数由对数积分和振荡误差项构建而成。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个在其收敛半平面内恰好有一个零点的Dirichlet级数？
• RQ2 是否存在满足Hilberdink和Neamah近期提出条件的良好行为广义数系？
• RQ3 能否构造一个具有规则素数但整数极度不规则的Beurling素数系统，同时保持素数计数函数的有界差异？
• RQ4 对于任意满足Chebyshev界、右连续、非减且无界的 F，是否可能实现 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2？

主要发现

• 该方法构造出广义素数系统 𝒫，使得对所有 x ≥ 1 都有 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2，显著优于DMVZ方法的 √x 误差界。
• 对于连续 F，该方法生成严格递增序列，且满足 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 1，确保更高的规则性和精度。
• 该方法成功解决了Balazard的问题，构造出在其收敛半平面内恰好有一个零点的Dirichlet级数。
• 该方法构建出具有规则素数和高度不规则整数的广义数系，优于先前构造中差异不可控的缺陷。
• 该方法使构造在右半平面 {Re s > 0} 内无零点的Beurling zeta函数成为可能，其行为与经典Riemann zeta函数在此方面的特性一致。
• 该方法的核心指数和界得以保持：|∑_{p_j ≤ x} p_j^{−it} − ∫₁ˣ u^{−it} dF(u)| ≪ √x + √(x log(|t|+1)/log(x+1))，确保对zeta函数性质的分析控制。