[论文解读] A New Geometric Proposal for the Hamiltonian Description of Classical Field Theories

M. Francaviglia, Marcella Palese+1 more|ArXiv.org|Nov 11, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于在基流形 X 上纤维化的线丛 Θ 构建的扩展配置丛的新型几何哈密顿框架，用于经典场论。通过引入哈密顿联络、多重辛形式以及复合纤维丛结构，作者将协变哈密顿方程定义为垂直协变微分的核，证明其与多辛方法中的标准哈密顿–德东德方程等价。

ABSTRACT

We consider the geometric formulation of the Hamiltonian formalism for field theory in terms of {\em Hamiltonian connections} and {\em multisymplectic forms}. In this framework the covariant Hamilton equations for Mechanics and field theory are defined in terms of multisymplectic $(n+2)$--forms, where $n$ is the dimension of the basis manifold, together with connections on the configuration bundle. We provide a new geometric Hamiltonian description of field theory, based on the introduction of a suitable {\em composite fibered bundle} which plays the role of an {\em extended configuration bundle}. Instead of fibrations over an $n$--dimensional base manifold $\bX$, we consider {\em fibrations over a line bundle $\Tht$ fibered over $\bX$}. The concepts of {\em extended Legendre bundle}, {\em Hamiltonian connection}, {\em Hamiltonian form} and {\em covariant Hamilton equations} are introduced and put in relation with the corresponding standard concepts in the polymomentum approach to field theory.

研究动机与目标

• 为经典场论发展一种几何哈密顿形式化，将时间依赖力学推广至具有多个自变量的场论。
• 通过在基流形 X 上的线丛 Θ 的新几何构造，解决场论中的规范结构与多动量形式。
• 为引力理论的正则理论及其引力能提供统一的几何解释，其中 τ 作为参数使引力能可被视为‘引力电荷’。
• 建立所提形式化与标准多辛方法（特别是哈密顿–德东德方程）之间的严格对应关系。
• 为向量丛上具有多重辛结构的 K-理论在场论与引力理论中的未来应用奠定基础。

提出的方法

• 引入复合纤维丛结构，其中配置丛纤维化于线丛 Θ，而 Θ 又纤维化于基流形 X，从而形成扩展配置空间。
• 将扩展的勒让德丛 ΠΘ 定义为复合丛的喷射提升的对偶，从而通过取值于 Θ 的垂直切丛的微分形式，实现对多动量的几何描述。
• 在 J₁ΠΘ 上构造一个取值于 VΘ 的哈密顿形式 H，其通过拉回与拉格朗日量 L_H = (p̄ᵢ^λ yᵢ^λ − H)ω 相关的陈–卡蒂埃形式。
• 引入哈密顿算子 𝒪_H 作为 L_H 的欧拉–拉格朗日算子，其核定义了协变哈密顿方程。
• 将抽象协变哈密顿方程定义为与子丛 ΠΘ_φ ⊂ ΠΘ 上拉回联络相关的垂直协变微分 Δ̃_H,φ 的核。
• 利用复合纤维丛上联络的理论，证明标准哈密顿联络 ΠΘ → X 是通过截面 φ = h∘σ 从 ΠΘ → Y 上的联络拉回得到的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持时间依赖力学结构的前提下，将经典场论的哈密顿形式化几何地推广至多个自变量？
• RQ2 线丛 Θ 在编码场论中的规范结构与多动量变量方面起什么作用？
• RQ3 所提形式化与多辛方法中的标准哈密顿–德东德方程有何关系？
• RQ4 扩展勒让德丛及其相关哈密顿联络的几何构造能否为引力能提供‘引力电荷’的新解释？
• RQ5 垂直协变微分 Δ̃_H,φ 在统一抽象哈密顿动力学与标准场方程方面具有何种意义？

主要发现

• 所提形式化引入了一种新的几何框架，用于经典场论，其基于线丛 Θ 上的复合纤维丛，推广了时间依赖力学的齐次形式。
• 证明了 J₁ΠΘ 上的哈密顿形式 H 是拉格朗日量 L_H = (p̄ᵢ^λ yᵢ^λ − H)ω 取值于 VΘ 的陈–卡蒂埃形式，建立了与变分原理的几何联系。
• 哈密顿算子 𝒪_H 的核给出协变哈密顿方程，形式为 yᵢ^λ = ∂ᵢ^λ H 和 p̄ᵢ^λλ = −∂ᵢ H，其在局部上等价于标准哈密顿–德东德方程。
• 抽象协变哈密顿方程被定义为垂直协变微分 Δ̃_H,φ 的核，且该核被证明与标准哈密顿–德东德方程完全一致。
• 标准哈密顿联络 ΠΘ → X 被证明是通过截面 φ = h∘σ 从 ΠΘ → Y 上的联络拉回得到的，从而与复合丛结构保持一致。
• 该框架在将 τ 视为参数时，为引力能提供了作为‘引力电荷’的几何解释，为正则引力理论与 K-理论应用开辟了有希望的新路径。