[论文解读] A new Hodge operator in Discrete Exterior Calculus. Application to fluid mechanics

Rama Ayoub, Aziz Hamdouni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文提出了一种离散外微分（DEC）中的新型离散Hodge算子，消除了对良好中心化网格或外心对偶网格的依赖——这是经典对角Hodge算子的关键限制。通过从任意内点（如内心或重心）构造对偶网格，该方法确保了分段常数形式的精确性，并在包括高度扭曲和非Delaunay三角剖分在内的多种网格类型上实现了二阶收敛率。

ABSTRACT

International audience

研究动机与目标

• 克服经典对角Hodge算子在DEC中对良好中心化网格和外心对偶网格的依赖限制。
• 开发一种通用的离散Hodge构造方法，使其在任意选择的内点作为对偶网格生成点时，对分段常数微分形式保持精确性。
• 实现在非结构化和扭曲网格上流体力学与热传导问题的鲁棒、收敛模拟。
• 通过算法选择对偶网格中心，为网格优化Hodge算子奠定基础。

提出的方法

• 提出一种基于对偶和原胞积分的新型解析离散Hodge算子构造方法，避免使用Whitney形式。
• 使用任意内点（如内心、重心等）作为对偶胞腔生成点，不限于外心。
• 通过设计确保双射性与分段常数形式的精确性，且独立于网格质量。
• 采用基于内点的胞腔细分方法构建对偶网格，与Stokes定理保持一致性。
• 从原胞与对偶胞腔的体积比推导离散Hodge矩阵，不依赖几何插值或积分。
• 在结构化与非结构化网格上的泊松方程和Navier-Stokes流动问题中对方法进行了数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在DEC中构造一种离散Hodge算子，使其在无需良好中心化网格的前提下，对分段常数形式保持精确性？
• RQ2 该新型Hodge算子在扭曲和非Delaunay网格上是否仍能保持高收敛率？
• RQ3 对偶网格中心的选择（如内心与重心）如何影响精度与收敛性？
• RQ4 在复杂流体动力学模拟中，该新型Hodge算子是否能优于或至少匹配对角Hodge算子？
• RQ5 是否可行通过算法方式优化对偶网格中心选择，以最小化特定问题类别的误差？

主要发现

• 在良好中心化和结构化网格上，该Hodge算子对流函数实现了二阶收敛，温度的收敛率为1.5159。
• 在含有25%非Delaunay三角形的网格上，收敛率依然较高：流函数为1.6729，温度为1.2154。
• 在含有50%非Delaunay三角形的网格上，流函数的收敛率为1.6591，而温度收敛率下降至0.8660，表明对网格扭曲具有敏感性。
• 即使在极端不规则网格上（如面积相差达10,000倍的三角形），该方法仍保持稳定与收敛。
• 在良好中心化网格上，该Hodge算子在无需外心对偶关系的情况下，其精度优于或至少匹配对角Hodge算子。
• 无论选择何种内点作为对偶网格生成点，该方法均能实现分段常数形式的精确性，验证了其通用性与鲁棒性。