[论文解读] A New Infinite Class of Sasaki-Einstein Manifolds

Jerome P. Gauntlett, Dario Martelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用 26

一句话总结

该论文通过在任意正曲率凯勒-爱因斯坦流形（维度 $2n$）上纤维丛化，构建了在维度 $2n+3$ 下的一类新的无限显式、单连通、自旋的桑达克-爱因斯坦流形。该构造采用共轨度一的假设，使用一种推广先前结果的特定度量假设，同时产生准正则与非正则的例子，其度量锥具有 $SU(n+2)$ 旋转变换群，并为超共形场论提供了新的超引力对偶。

ABSTRACT

We show that for every positive curvature Kahler-Einstein manifold in dimension 2n there is a countably infinite class of associated Sasaki-Einstein manifolds X_{2n+3} in dimension 2n+3. When n=1 we recover a recently discovered family of supersymmetric AdS_5 x X_5 solutions of type IIB string theory, while when n=2 we obtain new supersymmetric AdS_4 x X_7 solutions of D=11 supergravity. Both are expected to provide new supergravity duals of superconformal field theories.

研究动机与目标

• 为任意正曲率凯勒-爱因斯坦基底（维度 $2n$）构造显式、紧致、单连通的奇数维桑达克-爱因斯坦流形 $X_{2n+3}$。
• 将先前共轨度一桑达克-爱因斯坦度量的构造方法，特别是 $S^2 \times S^3$ 家族，推广至所有维度和基底流形。
• 提供首个在已知齐次情况之外的非齐次、准正则及非正则桑达克-爱因斯坦流形的显式例子。
• 建立系统化方法，用于生成 $D=11$ 超引力中的新超对称 $AdS_{5}\times X_5$ 和 $AdS_4\times X_7$ 解。
• 证明所构造流形的度量锥具有 $SU(n+2)$ 旋转变换群，从而确认其为卡拉比-丘流形并证实其存在 Killing 旋量。

提出的方法

• 采用共轨度一的度量假设，其中桑达克-爱因斯坦流形 $X_{2n+3}$ 通过 $U(1)$ 纤维丛结构纤维化于凯勒-爱因斯坦基底 $B_{2n}$ 上。
• 度量通过涉及径向坐标 $\rho$ 的扭曲积形式构造，其中函数 $f(\rho)$、$q(\rho)$ 和 $F(y)$ 满足由爱因斯坦条件导出的常微分方程组。
• 该构造依赖于一个参数 $\kappa$，其标记出一个可数无限解族，$\kappa$ 与 $U(1)$ 轨道的拓扑及正则性相关。
• 通过验证其 Killing 向量场 $V = \partial/\partial\psi$ 的轨道为闭合或稠密（取决于 $f(\rho_2) \in \mathbb{Q}$ 或 $\notin \mathbb{Q}$），证明该度量在全局上光滑且定义良好。
• 通过引入新坐标 $y$ 和 $\beta$，将假设转化为标准形式，其中 $F(y)$ 表示为包含 $n$ 次多项式 $Q_n(x)$ 的有理函数。
• 通过平行旋量的存在性，证明度量锥的旋转变换群包含于 $SU(n+2)$，从而确认其为卡拉比-丘流形并证实桑达克-爱因斯坦条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将显式桑达克-爱因斯坦流形的系统构造方法，推广至已知齐次及低维情况之外？
• RQ2 当基底为任意正曲率凯勒-爱因斯坦流形（维度 $2n$）时，桑达克-爱因斯坦度量的结构是怎样的？
• RQ3 在参数 $\kappa$ 和 $f(\rho_2)$ 的取值下，$U(1)$ 作用的全局性质（正则性、准正则性、非正则性）如何变化？
• RQ4 所构造桑达克-爱因斯坦流形的度量锥的旋转变换群是什么？是否确认其为卡拉比-丘结构？
• RQ5 该构造能否产生新的超引力解，作为 $D=4$ 和 $D=3$ 超共形场论的对偶？

主要发现

• 对于每个正曲率凯勒-爱因斯坦流形 $B_{2n}$，均在维度 $2n+3$ 下构造出一个可数无限族的紧致、单连通、自旋的桑达克-爱因斯坦流形 $X_{2n+3}$。
• 流形 $X_{2n+3}$ 的等距群至少包含 $G \times T^2$，其中 $G$ 为基底 $B_{2n}$ 的等距群，表明对称性增强。
• 当 $f(\rho_2) \in \mathbb{Q}$ 时，流形为准正则，具有明确定义的凯勒-爱因斯坦轨道空间；当 $f(\rho_2) \notin \mathbb{Q}$ 时，流形为非正则，无明确定义的基底。
• 所构造流形的度量锥的旋转变换群包含于 $SU(n+2)$，确认其为卡拉比-丘锥，并证实 $X_{2n+3}$ 具有 Killing 旋量。
• 当 $n=1$ 时，该构造恢复了已知的 $S^2 \times S^3$ 度量无限族；当 $n=2$ 时，其产生新的显式 $AdS_4 \times X_7$ 解，适用于 $D=11$ 超引力。
• 该构造包含 $c=0$ 极限情形，其作为特例恢复了已知的正则齐次桑达克-爱因斯坦流形，如 $Q^{1,1,1}$ 和 $M^{3,2}$。