[论文解读] A New Iterative Projection Method for Approximating Fixed Point Problems and Variational Inequality Problems

İbrahim Karahan, Murat Özdemir|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的外梯度迭代方法，用于在实希尔伯特空间中求解公共不动点与变分不等式问题。通过将一族无限非扩张映射与一个反强单调算子相结合，该方法在温和条件下实现了对公共解的强收敛，扩展了现有迭代方案并提供了改进的收敛保证。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study a new extragradient iterative process for finding a common element of the set of fixed points of an infinite family of nonexpansive mappings and the set of solutions of a variational inequality for an inverse strongly monotone mapping in a real Hilbert space. Also, we prove that under quite mild conditions the iterative sequence defined by our new extragradient method converges strongly to a solution of the fixed point problem for an infinite family of nonexpansive mappings and the classical variational inequality problem. In addition, utilizing this result, we provide some applications of the considered problem not just giving a pure extension of existing mathematical problems.

研究动机与目标

• 开发一种新的迭代算法，以同时求解一族无限非扩张映射的不动点问题与变分不等式问题。
• 建立所提出的迭代序列在实希尔伯特空间中强收敛至公共解的性质。
• 通过在每次迭代中引入包含两个投影的混合结构，扩展现有的外梯度型方法。
• 将方法应用于凸最小化问题以及涉及严格伪压缩映射的不动点问题。

提出的方法

• 该方法采用两步迭代格式：首先，通过当前迭代点与其在非扩张映射下的投影的凸组合计算一个中间点；其次，利用该中间点的投影来更新迭代点。
• 算法涉及度量投影 $ P_C $、反强单调算子 $ A $ 以及非扩张映射 $ T $，参数满足 $ \lambda_n \in [a,b] \subset (0,2\alpha) $ 与 $ \alpha_n \in [c,d] \subset (0,1) $。
• 关键更新公式为 $ x_{n+1} = T P_C(I - \lambda_n A) y_n $，其中 $ y_n = (1 - \alpha_n)x_n + \alpha_n T P_C(I - \lambda_n A)x_n $。
• 该方法通过利用希尔伯特空间中非扩张映射与反强单调算子的性质，确保了强收敛性。
• 收敛性分析依赖于变分不等式解与映射 $ P_C(I - \lambda A) $ 的不动点之间的等价性。
• 通过设定 $ A = \nabla f $，其中 $ \nabla f $ 是 $ L $-Lipschitz 连续的，该方法被应用于凸最小化问题；同时，也适用于涉及严格伪压缩映射的不动点问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种新型迭代方法，以同时求解一族无限非扩张映射的不动点问题与变分不等式问题？
• RQ2 所提出的外梯度型方案在温和的参数约束下是否能实现强收敛？
• RQ3 该方法的收敛行为与现有的迭代格式（如 Mann、Picard 或 Ishikawa 迭代）相比如何？
• RQ4 该方法能否通过基于梯度的公式推广至凸最小化问题？
• RQ5 当变分不等式算子来源于严格伪压缩映射时，其收敛行为如何？

主要发现

• 所提出的迭代序列强收敛于一点 $ z \in F(T) \cap \Omega $，其中 $ F(T) $ 是非扩张映射的不动点集，$ \Omega $ 是变分不等式问题的解集。
• 在条件 $ \lambda_n \in [a,b] \subset (0,2\alpha) $ 与 $ \alpha_n \in [c,d] \subset (0,1) $ 下，强收敛得以保证，其中 $ \alpha $ 是算子 $ A $ 的反强单调性参数。
• 即使解集涉及一族无限非扩张映射，该方法仍能实现强收敛，这相较于以往工作中仅得到弱收敛结果而言是一大改进。
• 在凸最小化问题中，当设定 $ A = \nabla f $ 且 $ \nabla f $ 为 $ L $-Lipschitz 连续时，若解集非空，则该方法强收敛于 $ \text{Argmin}_{x \in C} f(x) $ 中的极小化点。
• 当应用于一对非扩张映射与严格伪压缩映射时，该方法弱收敛于公共不动点，其收敛性通过等价关系 $ F(S) = VI(C, I-S) $ 建立。
• 在相关文献引用的工作中已证明，该方法在压缩映射背景下相较于经典的 Picard、Mann 与 Ishikawa 迭代具有独立性与更快的收敛速度。