[论文解读] A New Kalman Filter Model for Nonlinear Systems Based on Ellipsoidal Bounding

Ligang Sun, Hamza Alkhatib+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新型的集合成员卡尔曼滤波器（SKF），用于非线性系统，通过椭球边界同时处理随机不确定性和未知但有界的（UBB）不确定性。通过在每一步求解一个优化问题以最小化状态估计椭球形状矩阵的迹，该方法在高角度不确定性条件下，相比扩展卡尔曼滤波器（EKF）产生了更可靠、更鲁棒的状态估计，如轨迹估计基准测试所示。

ABSTRACT

In this paper, a new filter model called set-membership Kalman filter for nonlinear state estimation problems was designed, where both random and unknown but bounded uncertainties were considered simultaneously in the discrete-time system. The main loop of this algorithm includes one prediction step and one correction step with measurement information, and the key part in each loop is to solve an optimization problem. The solution of the optimization problem produces the optimal estimation for the state, which is bounded by ellipsoids. The new filter was applied on a highly nonlinear benchmark example and a two-dimensional simulated trajectory estimation problem, in which the new filter behaved better compared with extended Kalman filter results. Sensitivity of the algorithm was discussed in the end.

研究动机与目标

• 开发一种针对非线性系统中同时存在随机噪声和未知但有界（UBB）不确定性的鲁棒状态估计框架。
• 改进扩展卡尔曼滤波器（EKF）的局限性，特别是其对模型非线性和噪声假设不准确的敏感性。
• 将卡尔曼滤波器的递归结构与集合成员方法相结合，在保持计算效率的同时增强不确定性表示。
• 提供一种更可靠的估计框架，其中状态被限制在椭球内，反映保守且现实的不确定性边界。
• 在真实不确定条件下的性能进行评估，特别是在角度误差主导距离误差的情况下。

提出的方法

• 该方法采用递归的两步框架：预测和校正，两步均涉及求解非线性优化问题。
• 在每一步中，状态估计表示为一个由中心向量和正定形状矩阵定义的椭球，通过最小化形状矩阵的迹获得。
• 预测步骤将状态椭球通过非线性系统动力学进行传播，同时考虑过程不确定性，其边界为椭球形式。
• 校正步骤通过求解一个优化问题将测量数据纳入，该问题最小化更新后形状矩阵的迹，从而获得更紧致、更精确的椭球边界。
• 通过求解凸优化问题近似椭球不确定性的闵可夫斯基和，以保持凸性和有界性。
• 该算法采用迹最小化准则来平衡椭球体积与形状，避免因使用行列式最小化而产生的极端扁平化或拉长现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将卡尔曼滤波器改进以同时处理非线性系统中的随机不确定性和未知但有界（UBB）不确定性？
• RQ2 角度不确定性与距离不确定性对非线性系统中状态估计性能的影响如何？
• RQ3 集合成员卡尔曼滤波器是否能在有界不确定性条件下优于扩展卡尔曼滤波器（EKF）的估计可靠性？
• RQ4 优化准则的选择（如迹、行列式、最大特征值）如何影响估计状态椭球的形状与大小？
• RQ5 滤波结果在多大程度上对集合成员不确定性的初始边界敏感？

主要发现

• 所提出的集合成员卡尔曼滤波器（SKF）在具有有界不确定性的高度非线性系统中，相比扩展卡尔曼滤波器（EKF）产生了更可靠、更鲁棒的状态估计。
• 在一个二维轨迹估计问题中，SKF显著优于EKF，尤其是在角度不确定性占主导时——例如，1°的角度误差在85米距离处导致1.48米的位置不确定性。
• 该滤波器的性能对集合成员不确定性的初始边界非常敏感；初始边界过大即使在测量数据正确的情况下也会导致输出椭球过大。
• 优化问题中的迹最小化准则产生了条件良好的椭球，避免了使用行列式最小化时可能出现的极端扁平化现象。
• 当初始不确定性边界减小时（如距离0.01米，角度1°），SKF产生了现实且紧致的椭球估计，证明了其实际适用性。
• 该算法的稳定性和收敛性仍需进一步分析，尤其是由于状态估计本质上是一个不适定的逆问题。