[论文解读] A new light on the breaking of uniaxial symmetry in nematics

Xavier Lamy|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文证明，在一维或二维系统中，若取向场不均匀，则向列相液晶的单轴对称性无法在平衡态下维持。基于任意坐标系不变的体相能的朗道-德热恩理论，证明在具有平动对称性的系统（如具有径向锚定的混合细胞或毛细管）中，由于平衡约束而非仅能量最小化，处处都会出现双轴性，且该结论对所有参数值和亚稳态均成立。

ABSTRACT

Within the Landau-de Gennes theory of liquid crystals, we study theoretically the equilibrium configurations with uniaxial symmetry. For an arbitrary form of the bulk energy density, we show that energy minimizers among uniaxially symmetric configurations are usually not equilibrium configurations. It was known before that uniaxiality can sometimes be broken by energy minimizers. We prove here that this is always the case in one or two dimensions. Even more we prove that equilibrium configurations (not only minimizers) cannot be uniaxial in one or two dimensions (unless they are constant). Namely, uniaxial equilibrium configurations with at least one translational invariance direction must have a uniform director field. In the case of a hybrid nematic cell, or of a capillary with radial anchoring, our result implies that biaxial escape always occurs, and that it does so not only in the core of a defect: uniaxial order is destroyed in the whole cell.

研究动机与目标

• 研究在一般条件下，向列相液晶的平衡构型中是否能保持单轴对称性。
• 确定对称临界性原理是否适用于向列系统中的单轴序。
• 分析平动对称性在破坏单轴对称性中的作用，特别是在线性系统中。
• 确立双轴逃逸并非局限于缺陷核心，而是在具有平动对称性的几何构型中全局发生。
• 证明双轴性仅由平衡方程决定，与自由能最小化或特定参数区域无关。

提出的方法

• 采用一般且坐标系不变的体相能密度 $\varphi(\mathrm{tr}(Q^2), \mathrm{tr}(Q^3))$ 构建朗道-德热恩自由能。
• 通过自由能的一阶变分推导出平衡方程，得到张量型偏微分方程：$L\Delta Q = 2\partial_1\varphi\, Q + 3\partial_2\varphi\left(Q^2 - \frac{|Q|^2}{3}I\right)$。
• 通过假设 $Q = s(n \otimes n - \frac{1}{3}I)$ 分析单轴构型，并推导出关于 $s$ 和 $n$ 的相关平衡条件。
• 在某一维或两维空间方向上应用平动对称性条件，以简化问题并推导 $\nabla n$ 的几何约束。
• 利用微分几何（高斯的绝妙定理）证明：在球面上，若 $|\nabla n|^2$ 为常数且 $n$ 非均匀，则不可能存在，除非 $n$ 为均匀场，从而导致矛盾。
• 利用 $Q$-张量的解析性，证明单轴区域必须为全集或测度为零，且除非 $n$ 均匀，否则不能为真开子集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维或二维系统中，若取向场不均匀，是否存在单轴平衡构型？
• RQ2 对称临界性原理是否适用于向列相液晶中的单轴对称性？
• RQ3 双轴性是否局限于缺陷核心，还是在具有平动对称性的系统中全局发生？
• RQ4 双轴性的出现是否依赖于特定参数值（如温度或系统尺寸）？
• RQ5 双轴性能否仅从平衡方程推导得出，而与自由能最小化或特定体相能形式无关？

主要发现

• 在一维或二维系统中，由于取向场的几何约束，任何非均匀的单轴平衡构型均不可能存在。
• 具有平动对称性的单轴平衡构型必须具有均匀取向场，否则将违反绝妙定理。
• 双轴性不仅局限于缺陷核心；在混合细胞或具有径向锚定的毛细管等几何构型中，双轴性在整个系统中普遍存在。
• 该结论适用于任意坐标系不变的体相能密度，包括标准四次项展开之外的任意形式。
• 该结论不仅适用于能量最小化态，也适用于所有平衡构型，包括亚稳态。
• 非均匀构型中单轴对称性的缺失是平衡方程的直接结果，而非自由能比较的产物。