[论文解读] A new mixed potential representation for the equations of unsteady, incompressible flow

Leslie Greengard, Shidong Jiang|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于热势和调和势组合的新型混合势公式，用于非定常、不可压缩的斯托克斯流与纳维-斯托克斯流，从而构建了一个条件良好的耦合边界积分方程系统——称为联合源积分方程（CSIE）。该方法通过预测-校正格式结合谱延迟校正（SDC），实现了高阶精度，即使在大时间步长和高度振荡的压力场下也表现出稳健性能。

ABSTRACT

We present a new integral representation for the unsteady, incompressible Stokes or Navier-Stokes equations, based on a linear combination of heat and harmonic potentials. For velocity boundary conditions, this leads to a coupled system of integral equations: one for the normal component of velocity and one for the tangential components. Each individual equation is well-condtioned, and we show that using them in predictor-corrector fashion, combined with spectral deferred correction, leads to high-order accuracy solvers. The fundamental unknowns in the mixed potential representation are densities supported on the boundary of the domain. We refer to one as the vortex source, the other as the pressure source and the coupled system as the combined source integral equation.

研究动机与目标

• 开发一种新的数学表示方法，用于非定常、不可压缩的斯托克斯方程与纳维-斯托克斯方程，以避免传统投影法或涡量法带来的数值挑战。
• 解决在存在压力梯度时，通过边界条件演化扩散速度场的同时强制满足不可压缩性的困难。
• 构建基于调和势与热势的边界积分公式，明确区分压力与涡量源的物理角色。
• 通过在预测-校正框架中应用谱延迟校正（SDC），实现高阶时间精度，且各独立方程均条件良好。
• 为高效、高阶的数值求解器提供基础，使其与快速多极法等快速边界积分方程算法兼容。

提出的方法

• 采用混合势表示法来表述非定常斯托克斯方程，结合热势（用于粘性扩散）与调和势（用于压力与不可压缩性）。
• 推导出一组耦合的边界积分方程：一个用于法向速度分量（涡源），一个用于切向分量（压力源），两者均在区域边界上定义。
• 提出联合源积分方程（CSIE），其中基本未知量为表示涡源与压力源的边界密度。
• 对CSIE采用预测-校正策略，以二阶时间格式作为预测，利用谱延迟校正（SDC）实现高阶精度。
• 在时间方向采用乘积积分法计算SDC的残差，通过解析计算涉及高斯核的关键积分，确保时间方向达到四阶精度。
• 确保耦合系统中每个独立方程的条件良好，从而在大时间步长下仍能实现稳定且精确的求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于热势与调和势的混合势公式，能否为非定常不可压缩流提供一个条件良好、高阶的边界积分公式？
• RQ2 如何通过边界积分表示自然地强制满足不可压缩性约束，而无需分数步长或压力泊松方程求解？
• RQ3 预测-校正格式结合谱延迟校正能否在保持大时间步长下稳定性和精度的同时，实现高阶时间精度？
• RQ4 在边界表示中将涡源与压力源分离，对解的条件数与精度有何影响，特别是在振荡性压力场下？
• RQ5 该新公式在非定常几何与复杂边界条件（包括多连通区域）下的可扩展性如何？

主要发现

• 所提出的混合势表示法导致一组条件良好的边界积分方程系统，其中每个分量（涡源与压力源）均独立适定。
• 数值实验表明，基于SDC的求解器在一次校正扫掠（SDC⁰₅）时达到二阶收敛率，两次扫掠（SDC¹₅）时收敛率显著提高，最细网格下的实际精度阶数约为2.6。
• 即使在时间步长较大、无法充分解析压力场振荡的情况下，方法仍保持高精度，表现出对快速压力变化的鲁棒性。
• 当采用乘积积分与足够多校正扫掠的SDC时，时间方向可实现四阶精度，收敛表证实了误差的稳定减小。
• 涡源与压力源的分离使得可通过边界密度直接施加速度边界条件，简化了实现过程并提升了稳定性。
• 该公式与快速算法（如快速多极法）兼容，因其依赖标准的热势与调和势，而非更复杂的非定常斯托克斯点源。