[论文解读] A new numerical approach to Anderson (de)localization

Constanze Liaw|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了一种研究无序量子系统中安德森（去）局域化的新型数值方法，基于秩一扰动理论和向量在奇异谱测度下的循环性。该方法提供了强有力的数值证据，表明在小无序条件下，二维离散随机薛定谔算符可能以正概率表现出动力学非局域化，挑战了普遍认为的局域化普遍性信念。

ABSTRACT

We develop a new approach for the Anderson localization problem. The implementation of this method yields strong numerical evidence leading to a (surprising to many) conjecture: The two dimensional discrete random Schroedinger operator with small disorder allows states that are dynamically delocalized with positive probability. This approach is based on a recent result by Abakumov-Liaw-Poltoratski which is rooted in the study of spectral behavior under rank-one perturbations, and states that every non-zero vector is almost surely cyclic for the singular part of the operator. The numerical work presented is rather simplistic compared to other numerical approaches in the field. Further, this method eliminates effects due to boundary conditions. While we carried out the numerical experiment almost exclusively in the case of the two dimensional discrete random Schroedinger operator, we include the setup for the general class of Anderson models called Anderson-type Hamiltonians. We track the location of the energy when a wave packet initially located at the origin is evolved according to the discrete random Schroedinger operator. This method does not provide new insight on the energy regimes for which diffusion occurs.

研究动机与目标

• 开发一种新的数值方法，用于研究无序量子系统中的安德森局域化与非局域化。
• 检验一个猜想，即在小无序条件下，二维离散随机薛定谔算符不会表现出完全局域化。
• 消除传统局域化数值研究中常见的边界条件伪影。
• 提供一种基于秩一扰动下谱循环性的数值可行方法。
• 研究低无序条件下波包的动力学行为。

提出的方法

• 该方法利用近期理论结果：对于安德森型哈密顿量的奇异谱部分，每个非零向量几乎必然为循环向量。
• 通过反复应用离散随机薛定谔算符，追踪初始局域于原点的单个波包的演化。
• 通过计算以原点为中心、对应于固定曼哈顿距离的“菱形区域”上的欧几里得范数，分析演化波包的能量分布。
• 该方法通过依赖谱性质而非有限体积近似，避免了边界效应。
• 数值实验使用二维离散随机薛定谔算符，其无序项为独立同分布的均匀分布，取值于[-c, c]。
• 该方法可推广至其他安德森型哈密顿量，且在d=2时实现O(n²)的高效内存使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小无序条件下，二维离散随机薛定谔算符是否表现出动力学非局域化，从而与普遍存在的局域化信念相矛盾？
• RQ2 基于谱循环性的数值方法能否在无边界条件伪影的情况下检测到非局域化态？
• RQ3 在低无序二维系统中，波包的能量分布如何随时间演化？
• RQ4 所观察到的非局域化行为在多个样本实现和不同无序强度下是否具有鲁棒性？
• RQ5 该方法能否扩展至标准晶格模型以外的其他安德森型哈密顿量？

主要发现

• 数值结果表明，当无序较小时（c ≲ 0.7），波包的能量向远离原点的方向显著扩散，表明存在动力学非局域化。
• 当无序较大时（例如c = 5），能量仍局域于原点附近，与已知的局域化行为一致。
• 小c条件下的能量分布呈现出随距离变化的宽广凸形轮廓，表明运动具有扩展性；而大c则导致尖锐的峰状分布。
• 该方法的结果对数值精度具有鲁棒性，双精度计算确认了结果的可靠性。
• 该方法成功检测到二维系统中的非局域化，计算开销极小，且无边界伪影。
• 该方法的可行性受限于计算时间而非内存，对于标准台式机系统，单个实现的计算时间约为8.5小时（n=2999）。