[论文解读] A New Operator of Primal Topological Spaces

Ahmad Al-Omari, Santanu Acharjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2022

Fuzzy and Soft Set Theory被引用 5

一句话总结

本文引入了一种基于拓扑中原始结构的新算子，记为 Ψ（Psi），它是滤子的对偶。本文建立了该算子的基本性质，并定义了‘适合于原始结构的拓扑’，证明了原始拓扑 τ⁰、闭包算子与 Ψ-算子之间的特征刻画和关系，特别是在 C(X)−{X}⊆P 且 τ 适合于 P 的条件下。

ABSTRACT

Recently, Acharjee et al. [S. Acharjee, M. Özkoç and F. Y. Issaka, Primal topological spaces, arXiv:2209.12676[math.GM]] introduced a new structure in topology named primal. Primal is the duel structure of grill. The main purpose of this paper is to introduce an operator using primal and obtain some of its fundamental properties. Also, we define the notion of topology suitable for a primal. We not only obtain some characterizations of this new notion, but also investigate many properties.

研究动机与目标

• 引入并研究从拓扑中原始结构导出的新 Ψ-算子。
• 定义并分析‘适合于原始结构的拓扑’这一概念，建立其基础性质。
• 探讨在特定条件下，原始拓扑 τ⁰、Ψ-算子与闭包算子之间的相互作用。
• 提供 Ψ-算子的特征刻画及其在原始拓扑空间中与开集和闭集关系的行为。
• 建立 τ⁰ 比 τ 更细以及闭包算子在 τ 与 τ⁰ 之间重合的条件。

提出的方法

• 对任意子集 A ⊆ X，定义 Ψ-算子为 A⁰(X,τ,P) = {x ∈ X : ∀U ∈ τ(x), (Aᶜ ∪ Uᶜ) ∈ P}。
• 引入闭包算子 cl⁰(A) = A ∪ A⁰，该算子扩展了原始拓扑空间中的标准闭包。
• 构造原始拓扑 τ⁰ = {A ⊆ X : cl⁰(Aᶜ) = Aᶜ}，该拓扑比原拓扑 τ 更细。
• 使用基 Bₚ = {T ∩ P : T ∈ τ, P ∉ P} 来刻画 τ⁰ 并分析其拓扑性质。
• 应用‘适合于原始结构的拓扑’这一概念，其中 τ 与 P 兼容，尤其在 C(X)−{X} ⊆ P 条件下。
• 利用 [1] 中关于原始结构与 Ψ-算子的已有结果，推导出新的闭包与包含性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在原始拓扑空间中，新 Ψ-算子与开集及闭包的关系如何？
• RQ2 一个拓扑 τ 适合于给定原始结构 P 的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在何种条件下，原始拓扑 τ⁰ 与原拓扑 τ 重合？
• RQ4 在原始拓扑空间中，何时闭包算子 cl⁰ 与 cl 重合？
• RQ5 Ψ-算子的性质如何与交集和并集等集合运算相互作用？

主要发现

• 原始拓扑 τ⁰ 比原拓扑 τ 更细，意味着对任意 A ⊆ X，有 cl⁰(A) ⊆ cl(A)。
• 若 τ 适合于 P 且 C(X)−{X} ⊆ P，则对任意开集 U ∈ τ，有 U ⊆ U⁰，从而推出 U⁰ = cl(U) = cl⁰(U)。
• 对任意 τ⁰-开集 G = U ∩ A，其中 U ∈ τ 且 A ∉ P，有 cl(G) = cl⁰(G) = G⁰ = U⁰ = cl(U) = cl⁰(U)。
• 对任意 A ∈ τ 与 B ⊆ X，有 (A ∩ B)⁰ = (A ∩ B⁰)⁰ = cl(A ∩ B⁰)，表明开性与 Ψ-算子之间具有强兼容性。
• 若 A ∈ τ 且 Aᶜ ∉ P，则 A⁰ = ∅，这意味着 A ⊆ X \u2215 X⁰，从而刻画了原始结构的支撑。
• A⁰ 的闭包满足 cl(A⁰) = A⁰，即 A⁰ 在原始拓扑 τ⁰ 中是闭集，且 (A⁰)⁰ ⊆ A⁰，表明其具有类似幂等性的行为。