[论文解读] A New Order-theoretic Characterisation of the Polytime Computable Functions

Martin Avanzini, Naohi Eguchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文提出了一种新型的序理论框架——小多项式路径序（sPOP*），通过项重写系统（TRSs）来表征多项式时间可计算函数。它证明了任何与sPOP*兼容的TRS其运行时复杂度被O(nd)所限制，其中d为递归深度；同时表明所有多项式时间可计算函数均可通过这种方式捕捉，从而提供了一套精确、自动且语法化的多项式时间复杂度分析准则。

ABSTRACT

We propose a new order, the small polynomial path order (sPOP* for short). The order sPOP* provides a characterisation of the class of polynomial time computable function via term rewrite systems. Any polynomial time computable function gives rise to a rewrite system that is compatible with sPOP*. On the other hand any function defined by a rewrite system compatible with sPOP* is polynomial time computable. Technically sPOP* is a tamed recursive path order with product status. Its distinctive feature is the precise control provided. For any rewrite system that is compatible with sPOP* that makes use of recursion up to depth d, the (innermost) runtime complexity is bounded from above by a polynomial of degree d.

研究动机与目标

• 通过项重写系统，提供多项式时间可计算函数的语法化、自动且精确的表征。
• 通过将递归深度与运行时复杂度界限直接关联，弥补现有复杂度分析技术的不足。
• 开发一种方法，可在不预先假设终止性的情况下，自动验证多项式时间复杂度。
• 在保持可判定性和效率的前提下，通过更精细的控制来扩展现有路径序，以获得更紧致的复杂度界限。
• 弥合隐式计算复杂度与项重写中的自动化复杂度分析之间的鸿沟。

提出的方法

• 提出sPOP*，一种具有乘积状态的受控递归路径序，作为多项式路径序（POP*）的限制形式。
• 基于与sPOP*的兼容性，定义一类称为“度数为d的预测性递归TRSs”的重写系统类。
• 证明任何与sPOP*兼容的TRS，其内核运行时复杂度被O(nd)所限制，其中d为最大递归深度。
• 在TCT复杂度分析器中，使用SAT求解器（MiniSAT）高效地自动检查sPOP*兼容性。
• 通过Bwsc+ps演算扩展框架以处理参数替换，同时保持多项式时间复杂度界限。
• 通过在TPDB 8.03基准的子集上进行实验，展示该方法在精度和可扩展性方面的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种语法化、序理论的准则，精确表征项重写系统中的多项式时间可计算函数？
• RQ2 如何在TRSs中形式化地将递归深度与运行时复杂度界限关联？
• RQ3 sPOP*能否在保持自动化的同时，相比LMPO或POP*等现有路径序提供更紧致的复杂度界限？
• RQ4 与sPOP*兼容的TRS类是否在安全递归与参数替换下保持封闭？
• RQ5 该框架能否被扩展以支持更具表达力的递归模式，同时不牺牲复杂度精度？

主要发现

• 小多项式路径序sPOP*通过项重写系统，为多项式时间可计算函数提供了精确的表征。
• 任何与sPOP*兼容的TRS，其内核运行时复杂度被O(nd)所限制，其中d为递归深度，且该界限是紧致的。
• 该框架可自动验证多项式时间复杂度：sPOP*兼容性可通过SAT求解高效检查。
• sPOP*在精度上优于LMPO，在能力上与POP*相当或更优，仅在覆盖范围上略有损失。
• 对参数替换的扩展（sPOP*PS）几乎弥合了与LMPO在表达力上的差距，显示出广泛适用的强潜力。
• 在757个TRS上的实验结果表明，sPOP*对每类度数可证明43至56个系统的O(nd)界限，具有高精度和极低的假阴性率。