[论文解读] A New Perspective on Quantum Field Theory Revealing Possible Existence of Another Kind of Fermions Forming Dark Matter

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于无限维 Clifford 代数的新量子场论框架，其中费米子场通过正交 Clifford 结构描述，玻色子场通过辛结构描述。通过将狄拉克场扩展以包含来自四元数的额外虚数单位，该模型预测存在一个新的 SU(2) 双态轻子（ϵ⁺, νϵ）和夸克（u′, d′），它们共同构成一种无标准模型耦合的暗物质候选者。

ABSTRACT

Quantum fields are considered as generators of infinite-dimensional Clifford algebra $Cl(\infty)$, which can be either orthogonal (in case of fermions) or symplectic (in case of bosons). A generic quantum state can be expressed as a superposition of the basis elements of $Cl(\infty)$, the superposition coefficients being multiparticle complex-valued wave functions. The basis elements, that are products of the generators of $Cl(\infty)$ in the Witt basis, act as creation and annihilation operators. They create positive and negative energy states that include the bare and the Dirac vacuum as special cases. It is shown that the nonvanishing electric charge arises from an extra dimension or from doubling the number of creation and annihilation operators, which brings an extra imaginary unit ${\bar i}$ into the description. A further extension is to consider the ${\bar i}$ as one of the quaternionic imaginary units and consider a generic state as having values in the quaternionic algebra or, equivalently, in the complexified 2-dimensional Clifford algebra, $Cl(2)\otimes C$.contains two distinct fundamental representations of $SU(2)$, one associated with the weak isospin oublet $( u_e,e^-)$, and the other one with the doublet of new leptons, denoted $(\epsilon^+, u_\epsilon)$, that together with the new quarks $(u',d')$ can be identified with dark matter.

研究动机与目标

• 通过将狄拉克波函数重新解释为包含负能量态的概率振幅，解决相对论量子力学中的基础性问题。
• 通过在无限维空间中使用正交和辛 Clifford 代数统一描述费米子和玻色子。
• 通过引入额外维度或额外虚数单位的几何推广，解释电荷和弱同位spin。
• 推导出一类新费米子——轻子（ϵ⁺, νϵ）和夸克（u′, d′）的存在，作为暗物质候选者。
• 表明标准模型的弱同位spin 双态可与第二个隐藏 SU(2) 双态共存于复化 Clifford 代数框架中。

提出的方法

• 从实的四分量克莱因-高登场构造复的四分量波函数，证明其与狄拉克方程等价。
• 使用福尔迪-伍思赫伊森变换关联正负能量态，验证负能量解的物理一致性。
• 应用威特基底将产生与湮灭算符表示为无限维 Clifford 代数 Cl(∞) 的生成元，区分费米子（正交）与玻色子（辛）结构。
• 引入额外虚数单位 ¯i，将其识别为四元数单位之一，将狄拉克场扩展至四元数代数，进而扩展至 Cl(2)⊗C。
• 在 Cl(2)⊗C 中识别出两个不同的 SU(2) 表示：一个用于标准弱双态（νₑ, e⁻），另一个用于新双态（ϵ⁺, νϵ）。
• 将电荷算符表示为第五维动量算符（p₅）与弱同位spin 生成元（I₃）之和，将电荷与额外维度和内部对称性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管包含负能量态，狄拉克波函数能否被一致地解释为概率振幅？
• RQ2 电荷如何从标准 U(1) 规范群之外的几何或代数结构中涌现？
• RQ3 额外虚数单位或额外时空维度在生成新费米子态中起什么作用？
• RQ4 弱同位spin 双态结构能否扩展以包含一个第二重、隐藏的 SU(2) 双态，该双态构成暗物质？
• RQ5 Cl(2) 的复化如何导致 SU(2) 的两个不同基本表示，分别对应标准与新费米子？

主要发现

• 由于相互作用势能有界，狄拉克波函数即使包含负能量分量，仍可被解释为概率振幅而不违反因果律。
• 量子场论中的产生与湮灭算符作为无限维 Clifford 代数中 Witt 基底的基元素出现，费米子态由正交 Cl(∞) 生成，玻色子态由辛 Cl(∞) 生成。
• 电荷要么通过引入额外虚数单位 ¯i 的狄拉克场双重化产生，要么通过第五时空维度产生，电荷密度与四维空间中的概率流成正比。
• 将狄拉克场扩展至四元数代数或等价地扩展至复化 Clifford 代数 Cl(2)⊗C，自然引入第二个 SU(2) 双态：(ϵ⁺, νϵ)，其与标准的 (νₑ, e⁻) 双态不同。
• 该模型预测了一类新费米子——(ϵ⁺, νϵ) 和 (u′, d′)——它们不与标准模型规范玻色子耦合，因此构成可行的暗物质候选者。
• 电荷算符表示为 ˆQ = ˆp₅ + I₃，其中 ˆp₅ 为第五维动量（被识别为超荷），I₃ 为弱同位spin 生成元，表明高维模型中弱相互作用荷可能被修改。