[论文解读] A new pinching theorem for complete self-shrinkers and its generalization

Lei Li, Hongwei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文为具有多项式体积增长的 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的完备自缩小时和 $\lambda$-超曲面建立了新的pinching定理。证明表明，若第二基本形式的平方模 $|A|^2$ 距离 1（对于自缩小时）或 $\beta_\lambda$（对于 $\lambda$-超曲面）在 $\frac{1}{18}$ 之内，且在 $|\lambda|$ 较小时，则 $|A|^2$ 为常数，且超曲面为标准球面或圆柱面。该结果改进了先前的刚性界，并将分类结果推广至更广泛的加权平均曲率流解类。

ABSTRACT

In this paper, we firstly verify that if $M$ is a complete self-shrinker with polynomial volume growth in $\mathbb{R}^{n+1}$, and if the squared norm of the second fundamental form of $M$ satisfies $0\leq|A|^2-1\leq\frac{1}{18}$, then $|A|^2\equiv1$ and $M$ is a round sphere or a cylinder. More generally, let $M$ be a complete $λ$-hypersurface with polynomial volume growth in $\mathbb{R}^{n+1}$ with $λ eq0$. Then we prove that there exists an positive constant $γ$, such that if $|λ|\leqγ$ and the squared norm of the second fundamental form of $M$ satisfies $0\leq|A|^2-β_λ\leq\frac{1}{18}$, then $|A|^2\equiv β_λ$, $λ>0$ and $M$ is a cylinder. Here $β_λ=\frac{1}{2}(2+λ^2+|λ|\sqrt{λ^2+4})$.

研究动机与目标

• 为具有多项式体积增长的 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的完备自缩小时建立一个精确的刚性条件。
• 将自缩小时的刚性结果推广至 $\lambda$-超曲面，即加权平均曲率流的解。
• 确定刚性最优pinching常数，改进先前 $11/500$ 与 $1/21$ 的界限。
• 在新pinching条件下对可能的超曲面进行分类，证明仅球面与圆柱面可满足该条件。

提出的方法

• 推导一个涉及第二基本形式 $A$、平方模 $S = |A|^2$ 与截断函数 $\rho$ 的加权Bochner型公式。
• 在多项式体积增长假设下，对加权 $L^2$-范数 $|\nabla A|^2$ 应用最大值原理。
• 引入参数化的测试函数族，并通过优化常数 $\sigma, \epsilon, \kappa$ 来控制积分不等式中的误差项。
• 利用条件 $0 \leq |A|^2 - \beta_\lambda \leq \frac{1}{18}$ 强制 $|\nabla A| \equiv 0$，从而推出 $|A|^2$ 为常数。
• 应用分类定理（Lawson）得出唯一可能的超曲面为球面与欧氏空间的乘积。
• 分析圆柱面 $\mathbb{S}^k(r) \times \mathbb{R}^{n-k}$ 的主曲率，以确定 $\beta_\lambda$ 的值及其与 $\lambda$ 符号的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优pinching常数 $\delta$ 是多少，使得 $0 \leq |A|^2 - 1 \leq \delta$ 蕴含 $|A|^2 \equiv 1$ 且超曲面为球面或圆柱面？
• RQ2 自缩小时的刚性结果能否推广至 $\lambda$-超曲面？对应的 $|\lambda|$ 临界值为何？
• RQ3 对于 $\lambda$-超曲面，条件 $0 \leq |A|^2 - \beta_\lambda \leq \frac{1}{18}$ 是否强制 $|A|^2 \equiv \beta_\lambda$，并可将超曲面分类为圆柱面？
• RQ4 精确值 $\beta_\lambda = \frac{1}{2}(2 + \lambda^2 + |\lambda|\sqrt{\lambda^2 + 4})$ 是什么？它与圆柱面主曲率有何关系？
• RQ5 在何种 $\lambda$ 条件下，$\lambda$-超曲面的刚性结果成立？为何必须有 $\lambda > 0$？

主要发现

• 对于具有多项式体积增长的完备自缩小时，若 $0 \leq |A|^2 - 1 \leq \frac{1}{18}$，则 $|A|^2 \equiv 1$，且超曲面为标准球面 $\mathbb{S}^n(\sqrt{n})$ 或圆柱面 $\mathbb{S}^k(\sqrt{k}) \times \mathbb{R}^{n-k}$（$1 \leq k \leq n-1$）。
• 对于 $\lambda \neq 0$ 的 $\lambda$-超曲面，存在一正数 $\gamma$，使得当 $|\lambda| \leq \gamma$ 且 $0 \leq |A|^2 - \beta_\lambda \leq \frac{1}{18}$ 时，有 $|A|^2 \equiv \beta_\lambda$，且超曲面为圆柱面 $\mathbb{S}\left(\frac{\sqrt{\lambda^2 + 4} - |\lambda|}{2}\right) \times \mathbb{R}^{n-1}$。
• 常数 $\beta_\lambda = \frac{1}{2}(2 + \lambda^2 + |\lambda|\sqrt{\lambda^2 + 4})$ 是该圆柱面的精确 $|A|^2$ 值，且当 $\lambda \neq 0$ 时严格大于 1。
• 分析表明 $\lambda > 0$ 是必要的，因为当 $\lambda < 0$ 时会导致 $|A|^2 < \beta_\lambda$，不满足pinching条件。
• 证明依赖于一个改进的积分不等式，其中通过优化参数 $\sigma, \epsilon, \kappa$ 调节系数，使得当pinching界为 $\frac{1}{18}$ 时，强制 $|\nabla A| \equiv 0$。
• 该结果改进了先前的刚性界限：$\frac{1}{18} \approx 0.0556$ 小于 $\frac{11}{500} = 0.022$ 与 $\frac{1}{21} \approx 0.0476$，表明刚性阈值更精确。