[论文解读] A new proof of Jacquet-Rallis's fundamental lemma

Raphaël Beuzart-Plessis|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文为特征为零的非阿代尔局部域的未分歧二次扩张的雅克-拉利斯基本引理的李代数版本提供了新的局部证明。通过使用韦伊表示以及张所建立的光滑转移与傅里叶变换的相容性，作者证明了在轨道积分下，李代数 $τ_{n,E}$ 和 $τ_{n-1,E}$ 中积分点的特征函数相匹配，从而通过 $SL_2(F)$ 的韦伊表示不变性证明了基本引理。

ABSTRACT

We give a new proof of the so-called Lie algebra version of Jacquet-Rallis's fundamental lemma for local non-Archimedean fields of characteristic zero. This proof is local and based on a previous result of W. Zhang on the compatibility of smooth transfer with a (partial) Fourier transform.

研究动机与目标

• 为特征为零的非阿代尔局部域的未分歧二次扩张的雅克-拉利斯基本引理的李代数版本提供一种新的局部证明。
• 通过调和分析技术，建立对称空间 $τ_{n,E}$ 与一般线性群 $τ_{n-1,E}$ 之间轨道积分的匹配关系。
• 通过 $SL_2(F)$ 的韦伊表示不变性，证明 $τ_{n,E}$ 和 $τ_{n-1,E}$ 中积分点的特征函数在轨道积分下相等。

提出的方法

• 定义对称空间 $τ_{n,E} = \{X \in \mathfrak{gl}_{n,E} \mid X = {}^tX^\sigma\}$ 和酉群 $τ_{n-1,E} = \{g \in \mathrm{GL}_{n-1,E} \mid {}^tg^\sigma g = I_{n-1}\}$，其作用为共轭。
• 引入扭曲轨道积分 $O(X,f)$ 和 $O(Y,f')$，并引入转移因子 $\omega(Y)$ 以确保 $\mathrm{GL}_{n-1}(F)$-不变性。
• 利用 $SL_2(F)$ 上的韦伊表示作用于轨道积分，证明差值 $\Phi = O(\cdot, \mathbf{1}_{\mathfrak{h}_n(\mathcal{O}_F)}) - O(\cdot, \mathbf{1}_{\mathfrak{gl}_n(\mathcal{O}_F)})$ 在该表示下不变。
• 借助张关于光滑转移与傅里叶变换相容性的结果，证明韦伊表示在两个轨道积分空间上作用相同。
• 通过利用非平凡加法特征标 $\psi$ 的性质，证明存在某个 $t$ 使得 $\psi(tq(a)) \neq 1$，从而推出 $\Phi(a) = 0$，即 $\Phi$ 在正则半单元素的稠密开子集上恒为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在轨道积分对应下，李代数 $\mathfrak{h}_n$ 中积分点的特征函数是否与 $\mathfrak{gl}_n$ 中的特征函数相匹配？
• RQ2 是否可以使用韦伊表示与傅里叶变换相容性，而非全局方法或迹公式方法，来证明基本引理？
• RQ3 对于所有匹配的正则半单元素，$\mathfrak{h}_n$ 上特征函数的轨道积分是否等于 $\mathfrak{gl}_n$ 上的轨道积分？

主要发现

• 轨道积分对应下，特征函数 $\mathbf{1}_{\mathfrak{h}_n(\mathcal{O}_F)}$ 与 $\mathbf{1}_{\mathfrak{gl}_n(\mathcal{O}_F)}$ 相匹配。
• 差值 $\Phi = O(\cdot, \mathbf{1}_{\mathfrak{gl}_n(\mathcal{O}_F)}) - O(\cdot, \mathbf{1}_{\mathfrak{h}_n(\mathcal{O}_F)})$ 在 $SL_2(F)$ 的韦伊表示作用下不变。
• 对于所有满足 $q(a) \neq 0$ 的 $a \in \mathcal{A}^{\mathrm{rs}}(F)$，若存在 $t \in F$ 使得 $\psi(tq(a)) \neq 1$，则 $\Phi(a) = 0$，从而在稠密开子集上强制为零。
• 由于 $\Phi$ 在 $SL_2(F)$ 作用下不变，且 $\psi$ 非平凡，因此 $\Phi \equiv 0$，从而证明了基本引理。