[论文解读] A new proof of the graph removal lemma

Jacob Fox|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了一种图删除引理的新证明，避免了使用Szemerédi的正则性引理，从而得到了显著更好的定量界。通过采用稀疏正则性方法并迭代细化顶点划分，该方法在逆塔函数中实现了塔型界，优于原始基于正则性引理的证明，并可推广至有向图和着色图的变体，获得类似的改进。

ABSTRACT

Let H be a fixed graph with h vertices. The graph removal lemma states that every graph on n vertices with o(n^h) copies of H can be made H-free by removing o(n^2) edges. We give a new proof which avoids Szemerédi's regularity lemma and gives a better bound. This approach also works to give improved bounds for the directed and multicolored analogues of the graph removal lemma. This answers questions of Alon and Gowers.

研究动机与目标

• 消除图删除引理证明中对Szemerédi正则性引理的依赖。
• 在图删除引理的界中实现定量改进，特别是改善δ对ε的依赖关系。
• 将改进后的界推广至有向图删除引理和多着色图删除引理。
• 回应Alon和Gowers关于删除引理是否存在更好定量证明的开放问题。
• 为算术删除引理和超图删除引理等相关领域建立更优界的基础。

提出的方法

• 该证明使用稀疏正则性方法，将顶点集划分为h个部分，并通过迭代细化划分来寻找边不相交的H子图。
• 应用概率论证表明，若图中H的副本数量较少，则将图随机划分为h个部分时，存在正概率可找到大量边不相交的H子图。
• 该方法依赖于一个计数引理，通过每个副本以恒定概率被嵌入到正确部分的事实，来限制正则划分中H的副本数量。
• 通过直接构造有限数量的部分并迭代细化以隔离包含大量H副本的稠密子图，该证明避免了正则性引理。
• 对于有向图和着色图的变体，该方法通过引入有向或着色正则性概念，并应用类似的计数与细化技术进行适应。
• 关键创新在于，用构造性的、迭代细化的过程替代正则性引理的全局划分，从而获得更好的定量控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 图删除引理能否在不依赖Szemerédi正则性引理的情况下被证明？
• RQ2 图删除引理的最佳可能定量界是什么？能否超越正则性引理所给出的塔型界？
• RQ3 相同的改进界是否可推广至有向图删除引理和多着色图删除引理？
• RQ4 该新方法能否为性质测试和极值组合数学中的应用提供更紧致的界？
• RQ5 该方法能否推广至超图或算术删除引理？

主要发现

• 新证明避免了正则性引理，且得到的界中δ⁻¹为高度为ε⁻¹的多项式次幂的2的塔，显著优于原始证明中与ε⁻⁵成比例的塔高。
• 该方法为图删除引理提供了显著优于Szemerédi正则性引理推导出的界，尤其在逆塔函数方面。
• 改进后的界可推广至有向图删除引理，通过迭代细化顶点划分和有向正则性概念，实现了相同的定量改进。
• 多着色图删除引理也受益于相同的改进界，其证明结构与有向图情况类似。
• 该方法为不依赖正则性引理证明删除引理提供了新框架，可能在算术和超图设置中带来更优的界。
• 该结果填补了图删除引理定量界长期存在的空白，并回答了Alon和Gowers关于是否存在更好证明的开放问题。