[论文解读] A new quantum version of f-divergence

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 22被引用 17

一句话总结

本文引入了一种新的量子 f-散度，记为 $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$，其定义为通过反向测试（即完全正且迹保持的映射）生成给定一对量子态所需的最小经典 f-散度。主要贡献在于当 $f$ 为算子凸函数或其中一个态为纯态时，给出了 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 的闭式表达，并证明了最大测量诱导 f-散度严格小于 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$，揭示了在量子编码过程中经典散度不可恢复的损失。

ABSTRACT

This paper proposes and studies new quantum version of $f$-divergences, a class of convex functionals of a pair of probability distributions including Kullback-Leibler divergence, Rnyi-type relative entropy and so on. There are several quantum versions so far, including the one by Petz. We introduce another quantum version ($\mathrm{D}_{f}^{\max}$, below), defined as the solution to an optimization problem, or the minimum classical $f$- divergence necessary to generate a given pair of quantum states. It turns out to be the largest quantum $f$-divergence. The closed formula of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ is given either if $f$ is operator convex, or if one of the state is a pure state. Also, concise representation of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ as a pointwise supremum of linear functionals is given and used for the clarification of various properties of the quality. Using the closed formula of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$, we show: Suppose $f$ is operator convex. Then the\ maximum $f\,$- divergence of the probability distributions of a measurement under the state $ρ$ and $σ$ is strictly less than $\mathrm{D}_{f}^{\max}\left( ρ\Vertσ ight) $. This statement may seem intuitively trivial, but when $f$ is not operator convex, this is not always true. A counter example is $f\left( λ ight) =\left\vert 1-λ ight\vert $, which corresponds to total variation distance. We mostly work on finite dimensional Hilbert space, but some results are extended to infinite dimensional case.

研究动机与目标

• 定义一种新的量子 f-散度，使其在所有可能的量子 f-散度中达到最大值。
• 将 $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ 表征为涉及反向测试（将经典分布映射为 $\rho, \sigma$ 的 CP 映射）的优化问题的解。
• 在 $f$ 为算子凸函数或其中一个态为纯态时，建立 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 的闭式表达。
• 通过证明测量诱导 f-散度严格受 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 上界限制，阐明 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 的操作意义，揭示量子编码中经典散度不可恢复的损失。

提出的方法

• 将 $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ 定义为所有能将经典分布 $p, q$ 映射为 $\rho, \sigma$ 的反向测试（CP 映射）中，经典 f-散度 $\mathrm{D}_{f}(p\|q)$ 的下确界。
• 利用谱分解与非交换视角，推导出当 $f$ 为算子凸函数且 $\sigma$ 为具有零块的分块对角形式时，$\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 的闭式表达。
• 将 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 表示为测度空间上线性泛函的逐点上确界，从而支持对偶分析。
• 利用对偶性与迹类性质，证明当 $f$ 为算子凸函数时，所有测量下的最大 f-散度严格小于 $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$。
• 将结果推广至其中一个态为纯态的情形，将闭式表达从算子凸情形推广至更一般情况。
• 利用泛函演算与算子凸性定理（如 [2], [3], [12] 中所述）来证明 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 的结构，并验证其在 $f$ 的仿射变换下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 从给定的一对量子态中，所能实现的最大量子 f-散度是多少？
• RQ2 测量诱导的 f-散度与最大量子 f-散度 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 有何比较关系？
• RQ3 当 $f$ 为算子凸函数或其中一个态为纯态时，能否推导出 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 的闭式表达？
• RQ4 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 是否在 $f$ 的仿射变换下保持不变？这对其操作意义有何影响？
• RQ5 反向测试（CP 映射）在将 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 表征为生成 $\rho, \sigma$ 所需最小经典 f-散度的过程中起什么作用？

主要发现

• 当 $f$ 为算子凸函数时，$\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ 具有闭式表达：$\mathrm{tr}\,\sigma\,f(\sigma^{-1/2}\tilde{\rho}\sigma^{-1/2}) + \mathrm{tr}(\rho - \tilde{\rho})\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \varepsilon f(1/\varepsilon)$，其中 $\tilde{\rho}$ 是 $\rho$ 关于 $\sigma$ 的舒尔补。
• 实现 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 的最优反向测试在平凡冗余意义下唯一，且只要 $f$ 为算子凸函数，该测试即与 $f$ 无关。
• 当 $f$ 为算子凸函数时，所有测量下的最大 f-散度严格小于 $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$，表明量子编码中经典散度存在不可逆损失。
• 对于 $f(r) = |1 - r|$（非算子凸函数），测量诱导的 f-散度可等于 $\mathrm{D}_{f}^{\max}$，说明算子凸性对严格不等式成立是必要的。
• $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma)$ 可表示为线性泛函的逐点上确界，支持对偶分析，并用于证明关键性质。
• $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ 满足仿射不变性：当 $f_1(r) = f(r) - ar - b \geq 0$ 时，有 $\mathrm{D}_{f}^{\max}(\rho\|\sigma) = \mathrm{D}_{f_1}^{\max}(\rho\|\sigma) + a\mathrm{tr}\rho + b\mathrm{tr}\sigma$，保持其操作意义。