[论文解读] A new Quillen model for the Morita homotopy theory of DG categories

Gonçalo Tabuada|ArXiv.org|Jan 7, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文通过使用德林菲尔德的DG商构造和局部化对构造，在局部化对范畴（Lp）上引入了一种新的Quillen模型结构，建立了闭合的对称单幕结构。其主要贡献在于将DG范畴的同伦范畴中拓恩的内部Hom函子重新解释为该新模型中的总右导出内部Hom，从而解决了标准dgcat模型无法支持对称单幕结构的问题。

ABSTRACT

We construct a new Quillen model, based on the notions of Drinfeld's DG quotient and localization pair, for the Morita homotopy theory of DG categories. This new Quillen model carries a natural closed symmetric monoidal structure and allows us to re-interpret Toen's construction of the internal Hom-functor for the homotopy category of DG categories as a total right derived internal Hom-functor.

研究动机与目标

• 解决标准dgcat模型结构不是对称单幕模型范畴的问题，从而防止在同伦范畴中出现行为良好的内部Hom。
• 在局部化对范畴（Lp）上构建一种新的Quillen模型结构，使其支持闭合的对称单幕结构。
• 证明该新模型中的导出张量积和内部Hom与拓恩在Ho(dgcat)中的构造相对应。
• 将拓恩的rep_dg函子重新解释为新Lp模型中的总右导出内部Hom。

提出的方法

• 通过德林菲尔德的显式DG商构造，在局部化对范畴Lp上构建Quillen模型结构。
• 在Lp上定义张量积和内部Hom，证明其为导出函子。
• 通过评估函子和自由函子建立新Lp模型与标准dgcat模型之间的Quillen等价性。
• 利用DG范畴中的同伦拉回和路径对象构造，在P(B)中定义内部Hom，即路径对象构造。
• 利用dg函子B → B/B_contr是莫里塔等价这一事实，证明Quillen等价性。
• 通过Lp中的一条弱等价的Z字形路径，证明Lp中的导出内部Hom与拓恩的rep_dg函子在Ho(dgcat)中等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在局部化对上构造一种Quillen模型结构，使得张量积和内部Hom为导出函子？
• RQ2 该新Lp模型结构是否自然携带一个闭合的对称单幕结构？
• RQ3 该新模型中的导出内部Hom是否与Ho(dgcat)中拓恩的rep_dg函子等价？
• RQ4 能否通过Quillen等价模型修复dgcat无法成为对称单幕模型范畴的缺陷？

主要发现

• Lp上的新Quillen模型结构与dgcat上的标准模型Quillen等价，建立了其同伦范畴之间的同伦等价。
• 范畴Lp自然携带一个闭合的对称单幕结构，解决了dgcat缺乏该性质的问题。
• Ho(Lp)中的导出张量积与Ho(dgcat)中的标准导出张量积相对应。
• Ho(Lp)中的导出内部Hom函子RHom与Ho(dgcat)中拓恩的rep_dg函子精确对应，从而将后者重新解释为总右导出函子。
• 该构造利用德林菲尔德的DG商和局部化对形式化，确保在域上满足平坦性和共纤维性条件。
• 证明依赖于Lp中的一条Z字形弱等价路径，将F(rep_dg(A,B))与Ho(Lp)中的RHom(F(A),F(B))联系起来。