[论文解读] A new regression model for positive data

Marcelo Bourguignon, Manoel Santos‐Neto+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于均值与精度参数的新参数化贝塔prime（BP）分布的新型回归模型，用于正连续数据。该模型具有二次方差函数，可分别对均值和精度建立回归结构，在处理偏斜数据方面相比指数族模型更具灵活性，通过最大似然估计进行参数估计，并提供影响分析的诊断工具。

ABSTRACT

In this paper, we propose a regression model where the response variable is beta prime distributed using a new parameterization of this distribution that is indexed by mean and precision parameters. The proposed regression model is useful for situations where the variable of interest is continuous and restricted to the positive real line and is related to other variables through the mean and precision parameters. The variance function of the proposed model has a quadratic form. In addition, the beta prime model has properties that its competitor distributions of the exponential family do not have. Estimation is performed by maximum likelihood. Furthermore, we discuss residuals and influence diagnostic tools. Finally, we also carry out an application to real data that demonstrates the usefulness of the proposed model.

研究动机与目标

• 开发一种适用于偏斜且远离零的正连续响应变量的灵活回归模型。
• 解决广义线性模型（GLMs）在数据高度偏斜或存在非线性方差结构时的局限性。
• 提出一种基于均值和精度参数的新贝塔prime分布参数化方法，以提高可解释性与建模灵活性。
• 实现对均值和精度参数的独立回归结构，增强模型适应性。
• 提供稳健的推断工具，包括最大似然估计、残差及局部影响诊断，用于模型验证。

提出的方法

• 提出一种基于均值 $\mu$ 和精度 $\phi$ 参数而非形状参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 的新贝塔prime（BP）分布参数化方法。
• 推导以 $\mu$ 和 $\phi$ 表示的BP分布的概率密度函数（PDF），实现对均值和精度的直接建模。
• 构建一个回归模型，其中响应变量 $Y_i$ 服从均值为 $\mu_i$ 和精度为 $\phi_i$ 的BP分布，且两者均通过链接函数 $g_1$ 和 $g_2$ 与协变量关联。
• 采用最大似然估计（MLE）进行参数推断，利用迭代算法求解似然方程。
• 开发残差和局部影响诊断工具，以评估模型拟合度并检测影响观测值。
• 应用扰动方案（自变量扰动、精度协变量扰动及同时扰动）通过扰动矩阵 $\widehat{\mathbf{\Delta}}$ 推导影响度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝塔prime分布的新参数化是否能提升对偏斜正连续数据的建模灵活性？
• RQ2 所提出的结合均值与精度回归结构的回归模型在拟合偏斜正数据方面，与标准GLMs相比表现如何？
• RQ3 不同扰动方案对模型中协变量影响有何影响？
• RQ4 所提出的残差与局部影响诊断工具在检测影响观测值方面效果如何？
• RQ5 BP模型中的二次方差函数是否相比指数族模型的标准方差函数提供更优的拟合效果？

主要发现

• 所提模型表现出形式为 $\text{Var}(Y_i) = \mu_i^2(1 + \mu_i)\phi_i^{-1}$ 的二次方差函数，能够捕捉标准GLMs无法实现的复杂异方差模式。
• 基于均值与精度的新参数化显著提升了可解释性，并支持对位置与离散度的独立建模。
• 最大似然估计在所提模型中可行且有效，通过迭代算法实现收敛。
• 残差与局部影响度量等诊断工具成功推导并应用于影响观测值的检测。
• 在真实数据的应用中，该模型相比竞争模型展现出更优的拟合效果与灵活性，尤其在高度偏斜的正数据中表现更佳。
• 基于扰动矩阵 $\widehat{\mathbf{\Delta}}$ 的影响分析方法在各种扰动方案下有效识别出影响案例。