[论文解读] A New Representation for the Symbol Error Rate

Adithya Rajan, Cihan Tepedelenlioğlu|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在加性白高斯噪声（AWGN）和复合高斯噪声下，针对任意多维星座图的符号误码率（SER）的新表示方法，将SER表达为一个完全单调函数与信噪比（SNR）非负幂次的乘积。关键贡献是基于星座矩阵的秩，提出了SER完全单调性的充要条件，该条件使得在衰落信道上的随机序关系得以建立，并简化了SER分析。

ABSTRACT

The symbol error rate of the minimum distance detector for an arbitrary multi-dimensional constellation impaired by additive white Gaussian noise is characterized as the product of a completely monotone function with a non-negative power of the signal to noise ratio. This representation is also shown to apply to cases when the impairing noise is compound Gaussian. Using this general result, it is proved that the symbol error rate is completely monotone if the rank of its constellation matrix is either one or two. Further, a necessary and sufficient condition for the complete monotonicity of the symbol error rate of a constellation of any dimension is also obtained. Applications to stochastic ordering of wireless system performance are also discussed.

研究动机与目标

• 使用统一的分析框架，表征在AWGN和复合高斯噪声下任意多维星座图的符号误码率（SER）。
• 建立SER完全单调性的条件，该性质对于在衰落信道上进行随机序关系分析和平均SER分析至关重要。
• 将现有关于1D和2D星座图SER凸性和完全单调性的结果推广至任意维度。
• 提出一种新的随机序 $\mathscr{G}_p$，用于基于SER完全单调性，比较准静态衰落信道上不同平均SER的大小。
• 提供SER的典范表示形式，便于推导平均SER表达式，而无需依赖SER的闭式表达式。

提出的方法

• 将SER表示为 $ P_{\text{e}}(\rho) = \rho^p \int_0^\infty e^{-\rho u} \mu(u) \, du $，其中 $ \mu(u) $ 非负，且依赖于星座图的几何结构和最小距离。
• 利用完全单调函数理论，通过拉普拉斯变换表示法表征SER的单调性特性。
• 基于星座矩阵的秩，推导SER完全单调性的必要且充分条件：当且仅当秩为1或2时，SER是完全单调的。
• 将SER表示推广至复合高斯噪声，包括非高斯分布如Middleton类A噪声和对称稳定分布噪声。
• 引入一种新的随机序 $\mathscr{G}_p$，定义为 $ X_1 \leq_{\mathscr{G}_p} X_2 \Leftrightarrow \mathbb{E}[X_1^p e^{-\rho X_1}] \geq \mathbb{E}[X_2^p e^{-\rho X_2}] $ 对所有 $ \rho \geq 0 $ 成立，从而实现对不同衰落分布下平均SER的比较。
• 应用Bernstein定理，将SER的完全单调性与关联测度 $ \mu(u) $ 的非负性联系起来，确保分析的可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，任意多维星座图的SER关于SNR是完全单调的？
• RQ2 SER表示能否从AWGN推广至复合高斯噪声模型？
• RQ3 星座矩阵的秩如何决定SER的完全单调性？
• RQ4 可用于比较准静态衰落信道上任意星座图平均SER的随机序是什么？
• RQ5 SER能否表示为衰减指数函数的正混合形式，这对在衰落信道上进行平均SER分析有何影响？

主要发现

• 在AWGN下，任意多维星座图的SER可表示为 $ \rho^p \int_0^\infty e^{-\rho u} \mu(u) \, du $，其中 $ \mu(u) \geq 0 $，从而确立了典范形式。
• SER是完全单调的当且仅当星座矩阵的秩为1或2，提供了完全单调性的必要且充分条件。
• 对于秩大于2的星座图，完全单调性取决于具体的星座图几何结构和先验概率，而不仅由秩决定。
• SER表示可推广至复合高斯噪声，包括Middleton类A噪声和对称稳定分布噪声，显著扩展了其适用范围。
• 提出了一种新的随机序 $\mathscr{G}_p$，使得无需闭式SER表达式，即可比较不同衰落分布下的平均SER。
• 当 $ \rho \geq 4(p + \sqrt{p}) / d_{\text{min}}^2 $ 时，SER的二阶导数非负，证实了在高SNR区域下一般星座图的凸性。