[论文解读] A New Riemannian Setting for Surface Registration

Martin Bauer, Martins Bruveris|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 18被引用 21

一句话总结

本文提出了一种新颖的黎曼框架用于表面配准，基于基于表面内蕴的Sobolev型范数定义的内度量，而非像LDDMM那样依赖于环境空间微分同胚。该方法通过有限元方法实现测地线射击与梯度计算，展示了形状空间中的负曲率，并成功在合成表面上计算了Karcher均值。

ABSTRACT

We present a new approach for matching regular surfaces in a Riemannian setting. We use a Sobolev type metric on deformation vector fields which form the tangent bundle to the space of surfaces. In this article we compare our approach with the diffeomorphic matching framework. In the latter approach a deformation is prescribed on the ambient space, which then drags along an embedded surface. In contrast our metric is defined directly on the deformation vector field and can therefore be called an inner metric. We also show how to discretize the corresponding geodesic equation and compute the gradient of the cost functional using finite elements.

研究动机与目标

• 开发一种基于表面内蕴的表面配准黎曼框架，避免依赖环境空间变形。
• 将所提出的内度量方法与基于外度量的标准LDDMM框架进行比较。
• 实现在形状空间上的非线性统计分析，例如计算测地线均值与测量曲率。
• 提供测地线方程与梯度计算的数值稳定离散化方法，采用有限元法。
• 在具有不同拓扑结构的合成表面上演示该方法的可行性与几何特性。

提出的方法

• 在表面空间上定义黎曼度量，使用限制在表面上的切向量场的Sobolev型范数，确保光滑性与正则性。
• 将配准问题表述为在该内蕴黎曼流形中寻找测地线，以最小化模板与目标表面之间的形变能量。
• 通过有限元方法对测地线方程进行离散化，以实现在三角化表面中的数值计算。
• 利用测地线射击框架推导的伴随方程，计算匹配泛函相对于初始速度的梯度。
• 通过迭代调整初始速度实现测地线射击，以匹配目标表面，使用计算出的梯度。
• 使用Karcher均值算法通过迭代测地线射击计算多个表面的黎曼平均。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Sobolev型向量场的内黎曼度量与标准LDDMM框架相比，在几何一致性与数值行为方面表现如何？
• RQ2 所提出的内度量框架能否支持形状空间上的完整非线性统计分析，例如计算测地线均值？
• RQ3 在该内度量下，形状空间的内在曲率是多少？其对测地线行为有何影响？
• RQ4 如何在参数化表面上有效使用有限元方法对测地线方程与代价泛函梯度进行离散化与求解？
• RQ5 该方法能否通过选择参数化无关的匹配泛函，扩展至无参数化表面？

主要发现

• 由三个非对称环面构成的测地线三角形的内角和测量为103.243°，表明该形状空间区域存在负曲率。
• 环面之间测地线上的中点表现出轻微收缩，证实了负曲率的存在以及测地线的汇聚性。
• 五个花瓶形表面的Karcher均值在四次迭代内成功计算得出，平均速度范数降低至0.006，表明收敛。
• 该方法在不同表面拓扑结构（包括平面片、圆柱面与环面）上表现出鲁棒性，且采用一致的数值离散化。
• 内度量框架允许根据当前表面自适应调整度量行为，而LDDMM中的度量是固定的。
• 该框架支持完整的黎曼工具集，包括测地线射击与统计分析，且基于有限元的数值实现。