[论文解读] A new S-type eigenvalue localization set for tensors and its applications

Zhengge Huang, Ligong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过将指标集划分为不相交的子集 S 及其补集，提出了一种新的 S 型特征值定位集，其特征值集合比现有方法更紧致。该方法可对非负张量的谱半径以及弱不可约强 M-张量的最小 H-特征值提供更精确的界，数值例子验证了其在 Li 等人和 He 与 Huang 方法基础上的改进效果。

ABSTRACT

A new \emph{S}-type eigenvalue localization set for tensors is derived by breaking $N=\{1,2,\cdots,n\}$ into disjoint subsets $S$ and its complement. It is proved that this new set is tighter than those presented by Qi (Journal of Symbolic Computation 40 (2005) 1302-1324), Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 21 (2014) 39-50) and Li et al. (Linear Algebra Appl. 493 (2016) 469-483). As applications, checkable sufficient conditions for the positive definiteness and the positive semi-definiteness of tensors are proposed. Moreover, based on this new set, we establish a new upper bound for the spectral radius of nonnegative tensors and a lower bound for the minimum \emph{H}-eigenvalue of weakly irreducible strong \emph{M}-tensors in this paper. We demonstrate that these bounds are sharper than those obtained by Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 21 (2014) 39-50) and He and Huang (J. Inequal. Appl. 114 (2014) 2014). Numerical examples are also given to illustrate this fact.

研究动机与目标

• 提出一种比文献中现有集合更紧致的张量新特征值定位集。
• 利用新定位集，提供张量正（半）定性的可检验充分条件。
• 为非负张量的谱半径及弱不可约强 M-张量的最小 H-特征值推导改进的上下界。
• 通过数值例子展示新界相对于现有方法的优越性。

提出的方法

• 该方法将指标集 N = {1, 2, ..., n} 划分为两个不相交的子集 S 及其补集 S̄，以构造新的 S 型特征值定位集 Υ^S(𝒜)。
• 利用对角占优结构，定义行和 R_i(𝒜)、r_i^S(𝒜) 与 r_i^S̄(𝒜)，以细化定位区域。
• 该方法利用涉及 a_k⋯k、a_l⋯l 及残差项 r_i^S(𝒜)、r_i^S̄(𝒜) 的不等式，推导出强 M-张量特征值实部最小值 τ(𝒜) 的下界。
• 关键步骤是通过特征方程导出的二次不等式，得到包含 λ_k,l^1/2(𝒜) 的最大-最小表达式，以进一步收紧界。
• 该方法通过引入依赖于子集的残差项并利用张量元素的结构对称性，推广了先前的定位集。
• 理论证明表明 Υ^S(𝒜) ⊆ Ω^S(𝒜) ⊆ 𝒦^S(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) ⊆ Γ(𝒜)，证实了其紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种新的 S 型特征值定位集，使其比 Qi（2005）、Li 等人（2014）以及 He 与 Huang 的方法更紧致？
• RQ2 如何利用新定位集为非负张量的谱半径推导改进的界？
• RQ3 与现有方法相比，新集合能否为弱不可约强 M-张量的最小 H-特征值提供更紧的下界？
• RQ4 子集选择 S 对最终界紧致性的影响如何？如何选择最优的 S？

主要发现

• 证明了新 S 型特征值定位集 Υ^S(𝒜) 严格优于 Qi（2005）、Li 等人（2014）及 Li 等人（2016）提出的方法。
• 所提方法对一个三阶三维的 M-张量给出 τ(𝒜) ≥ 6.5 的下界，显著优于先前方法的 2.5 和 2.74。
• 对非负张量的谱半径及强 M-张量的最小 H-特征值，新界优于 Yang 与 Yang（2010）、Li 等人（2014）以及 He 与 Huang（2014）的结果。
• 张量正（半）定性的可检验充分条件在范围上广于 Qi（2005）、Li 等人（2014）及 He 与 Huang（2014）的方法。
• 数值实验表明，新界在多个测试案例中始终比现有方法更紧致。
• 理论框架表明 Υ^S(𝒜) ⊆ Ω^S(𝒜) ⊆ 𝒦^S(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) ⊆ Γ(𝒜)，建立了逐步更紧致的集合层级。