[论文解读] A new scheme for the Klein-Gordon and Dirac fields on the lattice with axial anomaly

Miguel Lorente|ArXiv.org|Dec 24, 2003

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种用于(1+1)维格点上Klein-Gordon场和Dirac场的新型有限差分格式，该格式在保持平动对称性、厄米性以及无质量情况下手征对称性的同时，避免了费米子加倍问题。该方法得到的规范不变轴向流，其散度在连续极限下正确再现了轴向异常，表明其与格点场论中的量子异常一致。

ABSTRACT

Using the method of finite differences a scheme is proposed to solve exactly the Klein-Gordon and Dirac free field equations, in a (1+1)-dimensional lattice. The hamiltonian of the Dirac field is translational invariant, hermitian, avoids fermion doubling, and, for the massless case, preserves global chiral symmetry. Coupling the fermion field to the electromagnetic vector potential we construct a gauge invariant vector current leading to the correct axial anomaly.

研究动机与目标

• 开发一种用于自由Klein-Gordon场和Dirac场的格点场论方案，以避免费米子加倍问题。
• 在无质量极限下保持全局手征对称性，同时保持哈密顿量的厄米性和平动对称性。
• 构建一个规范不变的矢量流，并在连续极限下证明轴向异常的正确性。
• 通过引入非局部哈密顿量结构，解决与Nielsen-Ninomiya无解定理之间的矛盾。

提出的方法

• 该方法采用通过格点上的有限差分定义的复指数函数，满足近似微分方程 df/dx = ikf 的二阶精度差分方程。
• 从有限差分方程的解构造正交归一基函数，实现在具有周期性边界条件的有限格点上的离散傅里叶型展开。
• 通过在交替格点上使用两分量旋量表示Dirac场，利用有限差分和平均算符定义算符，以确保厄米性和规范不变性。
• 轴向流通过非局部点分离结构定义，确保规范不变性，同时在连续极限下正确再现轴向异常。
• 该方案采用有限差分算符Δ、∇和δ的离散时间演化，并结合平均算符，以保持与连续对称性的兼容性。
• 通过引入中间场定义，将该模型推广至(3+1)维空间，将有限差分算符推广至多维空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种Dirac场的格点表述，以避免费米子加倍问题，同时保持手征对称性和厄米性？
• RQ2 如何在格点上定义一个规范不变的轴向流，使其散度能正确再现轴向异常？
• RQ3 是否可以通过在哈密顿量中引入非局域性，绕过Nielsen-Ninomiya无解定理，而不破坏基本对称性？
• RQ4 该有限差分方案是否能保持与等时对易关系以及场方程的连续极限的一致性？
• RQ5 是否可以通过对轴向流采用非局部点分离，实现在连续极限下轴向异常的恢复？

主要发现

• 所提出的有限差分方案对任意时间步长均给出精确解，确保与协变连续理论的一致性。
• 哈密顿量具有平动对称性、厄米性，且无费米子加倍现象，尽管其为非局部结构。
• 无质量Dirac场保持全局手征对称性，轴向流为规范不变，且具有非局部结构。
• 在连续极限下，轴向流的散度正确再现了轴向异常：⟨∂μjμ⁵⟩ = −1/π Fμν，符合异常匹配要求。
• 轴向流的散度在有效作用量中产生一个光子质量项，证实了异常的物理实现。
• 该方案通过引入多维有限差分算符和中间场定义，可直接推广至(3+1)维空间。