[论文解读] A new semilocal convergence theorem for the Weierstrass method from data at one point

Petko D. Proĭnov|ArXiv.org|Sep 7, 2007

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 2被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新的半局部收敛定理，用于多项式求根的Weierstrass方法，通过引入基于单个初始点的新型收敛准则，改进了先前的结果。主要贡献在于提出一个统一的收敛条件，其中涉及一个函数φ(x)，该函数推广并收紧了现有的误差界，在弱于先前定理假设的条件下确保了二次收敛。

ABSTRACT

In this paper we present a new semilocal convergence theorem from data at one point for the Weierstrass iterative method for the simultaneous computation of polynomial zeros. The main result generalizes and improves all previous ones in this area.

研究动机与目标

• 建立一个新的Weierstrass方法半局部收敛定理，该定理基于单个初始点的数据，推广并改进了现有结果。
• 为复空间中Weierstrass迭代序列推导出更紧致的先验与后验误差估计。
• 通过引入一个新颖的函数φ(x)统一并扩展先前的收敛条件，该函数控制收敛行为。
• 提供一种更全面且稳健的收敛准则，适用于不同的p-范数与多项式次数。

提出的方法

• 该方法基于Weierstrass校正项W(z)与d(z)（表示点间最小距离）的比值的p-范数，提出了一种新的收敛准则。
• 定义了一个实函数φ(x) = [(n−1)^{1/q}x / ((1−x)(1−2^{1/q}x))] × [1 + x/((n−1)^{1/p}(1−2^{1/q}x))]^{n−1}，该函数控制收敛行为。
• 收敛条件E(z⁰) < 1/2^{1/q} 且 φ(E(z⁰)) ≤ 1 确保Weierstrass序列定义良好并收敛于多项式的根向量。
• 先验误差估计推导为 ||zᵏ − ξ||_p ≤ [θᵏλ^{2ᵏ−1}/(1−θλ^{2ᵏ})] ||z¹ − z⁰||_p，其中 λ = φ(E(z⁰)) 且 θ = 1−2^{1/q}E(z⁰)。
• 后验误差估计为 ||zᵏ⁺¹ − ξ||_p ≤ [θₖλₖ/(1−θₖλₖ²)] ||zᵏ⁺¹ − zᵏ||_p，其中 λₖ = φ(E(zᵏ)) 且 θₖ = 1−2^{1/q}E(zᵏ)。
• 该方法通过在保持二次收敛的同时允许更广泛的初始点范围，推广并改进了先前结果，条件为 φ(E(z⁰)) < 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅基于单个初始点的数据，为Weierstrass方法建立更通用且更紧致的收敛准则？
• RQ2 如何在不同的p-范数与多项式次数下改进收敛行为与误差估计？
• RQ3 能够捕捉收敛阈值并确保二次收敛的最优函数φ(x)是什么？
• RQ4 能否通过一个分析上易于处理的单一函数，统一并收紧现有收敛条件？
• RQ5 新准则在收敛半径与误差界方面，与先前结果相比在定量上表现如何？

主要发现

• 新的收敛条件 E(z⁰) < 1/2^{1/q} 且 φ(E(z⁰)) ≤ 1 确保Weierstrass序列定义良好并收敛于多项式的根向量。
• 当 φ(E(z⁰)) < 1 时，可保证二次收敛，优于先前要求更严格初始条件的结果。
• 先验误差估计 ||zᵏ − ξ||_p ≤ [θᵏλ^{2ᵏ−1}/(1−θλ^{2ᵏ})] ||z¹ − z⁰||_p 提供了对收敛速度的紧致界。
• 后验估计 ||zᵏ⁺¹ − ξ||_p ≤ [θₖλₖ/(1−θₖλₖ²)] ||zᵏ⁺¹ − zᵏ||_p 允许在迭代过程中动态监控误差。
• 函数φ(x)推广并改进了所有先前的收敛定理，包括Batra、Petković、Zheng以及Wang-Zhao的结果。
• 当p=∞时，新准则使Petković与Herceg的结果得到改进，收敛半径更大，SOR方法中的参数hₖ比Wang-Zhao的参数大超过50%。