[论文解读] A new series of compact minitwistor spaces and Moishezon twistor spaces over them

Nobuhiro Honda|ArXiv.org|May 1, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文通过利用 D. Joyce 的具有环面对称性的自对偶度量，构建了一个新的紧致极小扭量空间（minitwistor spaces）及其相关 Moishezon 扭量空间的无限家族，并带有 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用。通过分析扭量空间在 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用下的亚纯商，作者明确地将这些扭量空间的射影模型实现为有理曲面上的二次锥丛（即极小扭量空间），这些空间被嵌入射影空间并具有受控奇点。其主要贡献在于系统且显式地构造了此前未知的 Moishezon 扭量空间，推广了 LeBrun 的早期例子。

ABSTRACT

In recent papers math.DG/0701278 and arXiv:0705.0060, we gave explicit description of some new Moishezon twistor spaces. In this paper, developing the method in the papers much further, we explicitly give projective models of a number of new Moishezon twistor spaces, as conic bundles over some rational surfaces (called minitwistor spaces). These include the twistor spaces studied in the papers as very special cases. Our source of the result is a series of self-dual metrics with torus action constructed by D. Joyce. Actually, for arbitrary Joyce metrics and U(1)-subgroups of the torus which fixes a torus-invariant 2-sphere, we first determine the associated minitwistor spaces in explicit forms. Next by analyzing the meromorphic maps from the twistor spaces to the minitwistor spaces, we realize projective models of the twistor spaces of all Joyce metrics, as conic bundles over the minitwistor spaces. Then we prove that for any one of these minitwistor spaces, there exist Moishezon twistor spaces with only C*-action whose quotient space is the given minitwistor space. This result generates numerous Moishezon twistor spaces which cannot be found in the literature (including the author's papers), in quite explicit form.

研究动机与目标

• 从具有环面对称性的自对偶度量出发，系统地构造新的具有 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用的紧致 Moishezon 扭量空间。
• 显式确定作为扭量空间在 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用下商的极小扭量空间的结构，这些极小扭量空间是嵌入射影空间的有理曲面。
• 将所有 Joyce 度量的扭量空间的射影模型实现为这些极小扭量空间上的二次锥丛。
• 证明所得到的极小扭量空间构成一个模空间，其参数由 Joyce 度量的连续参数决定，从而产生一个无限可数的全新例子族。

提出的方法

• 从 $$n\mathbf{CP}^{2}$$ 上任意一个具有 2-环面作用的 Joyce 度量出发，作者选取该环面的一个 $$U(1)$$-子群，该子群固定一个 2-球面，从而在扭量空间上诱导出一个 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用。
• 通过线性系统构造从扭量空间到极小扭量空间的亚纯映射 $$\Phi_{m}^{G_{1}}$$，其像曲面被显式描述为射影空间中的复曲面。
• 利用曲线族的几何性质及 $$\mathbf{C}^{*}$$-子群的作用，确定极小扭量空间的结构，从而导出到有理正则曲线的显式有理二次锥丛映射。
• 通过爆破部分消除亚纯映射中的不定点，构造出在解析化后的极小扭量空间上的 $$\mathbf{CP}^{2}$$-丛。
• 将原始扭量空间的射影模型实现为这些 $$\mathbf{CP}^{2}$$-丛内的二次锥丛，推广了 LeBrun 的构造。
• 证明该构造产生扭量空间在 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用下的典范商空间，该商空间被识别为 $$G_1$$-不变曲线的 Douady 空间中的唯一分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从 Joyce 的具有环面对称性的自对偶度量出发，系统地构造出新的具有 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用的 Moishezon 扭量空间？
• RQ2 作为扭量空间在 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用下商的极小扭量空间的显式几何结构是什么？
• RQ3 如何将扭量空间的射影模型实现为这些极小扭量空间上的二次锥丛？
• RQ4 所得到的极小扭量空间是否构成一个模空间，其参数由 Joyce 度量的连续参数决定？
• RQ5 亚纯商映射的不定性是否可被充分消除，以构造出显式的射影模型？

主要发现

• 作者构造了一个无限可数的全新紧致极小扭量空间族，这些空间是作为 Joyce 自对偶度量的环面作用中 $$U(1)$$-子群作用的结果，嵌入射影空间的有理曲面。
• 证明极小扭量空间是有理曲面，具有轻微奇点，其结构显式依赖于 Joyce 度量的连续参数，构成一个模空间。
• 所有 Joyce 度量的扭量空间的射影模型均被实现为这些极小扭量空间上的二次锥丛，推广了 LeBrun 在 $$\mathbf{CP}^{1}\times\mathbf{CP}^{1}$$ 上的构造。
• 证明从扭量空间到极小扭量空间的亚纯商映射在部分消除不定性后成为态射，其像为 $$G_1$$-不变曲线的 Douady 空间中的唯一分支。
• 识别出扭量空间在 $$\mathbf{C}^{*}$$-作用下的典范商空间即为极小扭量空间，且该构造产生一个平坦的、$$G_1$$-等变的态射到该商空间。
• 证明商映射的纤维为曲线，且该映射不将任何曲面映到点，从而保证了商构造的几何完整性。