[论文解读] A new symmetric linearly implicit exponential integrator preserving polynomial invariants or Lyapunov functions for conservative or dissipative systems

Lu Li|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文提出了一种对称的、线性隐式指数积分器，可为保守和耗散刚性系统保持多项式不变量或李雅普诺夫函数。通过将极化离散梯度与指数积分器结合，该方法在计算成本显著低于全隐式格式的情况下，实现了能量保持和优越的长时间稳定性。

ABSTRACT

We present a new linearly implicit exponential integrator that preserves the polynomial first integrals or Lyapunov functions for the conservative and dissipative stiff equations, respectively. The method is tested by both oscillated ordinary differential equations and partial differential equations, e.g., an averaged system in wind-induced oscillation, the Fermi-Pasta-Ulam systems, and the polynomial pendulum oscillators. The numerical simulations confirm the conservative properties of the proposed method and demonstrate its good behavior in superior running speed when compared with fully implicit schemes for long-time simulations.

研究动机与目标

• 为具有多项式能量函数的刚性保守和耗散系统开发一种结构保持积分器。
• 通过引入线性隐式格式，解决全隐式方法的计算成本限制。
• 通过几何积分技术确保对称性和长时间稳定性。
• 利用极化离散梯度和指数时间积分，精确保持能量或李雅普诺夫函数。
• 在长时间模拟中，与全隐式和显式方法相比，展示出优越的性能。

提出的方法

• 使用带指数时间步长的常数变易公式，构建对称的线性隐式指数积分器。
• 应用极化离散梯度，将非线性项在多个时间步上分配，从而实现线性隐式格式。
• 对多项式势能函数（如三次、四次）进行二次极化，以定义保持能量或李雅普诺夫函数的离散梯度。
• 将方法表述为 yn+2 = exp(2hJM)yn + 2hφ(2hJM)J∇¯U(yn, yn+1, yn+2)，其中 ∇¯U 为极化离散梯度。
• 通过多点极化和离散梯度条件，将该格式推广至更高阶多项式势能。
• 通过在 2h 时间步上构建方法并采用一致的平均化和梯度重构，确保对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性隐式指数积分器能否在刚性保守和耗散系统中保持多项式不变量或李雅普诺夫函数？
• RQ2 在长时间模拟中，该方法与全隐式和显式格式相比，在精度和计算成本方面表现如何？
• RQ3 积分器的对称性是否能带来更优的长时间行为，如线性误差增长和近似不变量守恒？
• RQ4 该方法能否在不需有界自由能或额外标量变量的情况下推广至更高阶多项式势能？
• RQ5 对于具有多项式能量函数的系统，该方法的精度阶数和收敛行为如何？

主要发现

• 所提出的 LIEEP 方法在保守系统中精确保持极化能量，如 α-Fermi–Pasta–Ulam 系统和多项式摆动振子。
• 对于耗散系统，该方法保持了李雅普诺夫函数的单调递减，与物理耗散行为一致。
• 该方法在时间上为二阶精度，经由 h = 1/2^i（i = 1 到 5）的收敛图验证。
• 数值结果表明，LIEEP 方法在计算成本上显著低于全隐式 EAVF 方法，尤其在长时间模拟中优势明显。
• 当采用适当的极化能量公式时，该方法在某些系统中表现出超收敛行为。
• 当 h = 0.3 时，多项式摆动振子的数值解在 [0, 1000] 时间区间内紧密逼近真实动力学，保持了柱面对相空间结构。