[论文解读] A new test for stick-slip limit cycles in dry-friction oscillators with small nonlinear friction characteristics

Oleg Makarenkov|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Gear and Bearing Dynamics Analysis参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于扰动的新充分条件，用于判断具有小非线性摩擦（如Stribeck效应）的干摩擦振子中是否存在粘滑极限环。关键结果是一个涉及非线性摩擦导数积分的定量不等式，该不等式可确定周期性粘滑运动何时出现，相较于发散性方法，该方法具有更高的准确性。

ABSTRACT

We consider a dry friction oscillator on a moving belt with both the Coulomb friction and a small nonlinear addition which can model e.g. the Stribeck effect. By using the perturbation theory, we establish a new sufficient condition for the nonlinearity to ensure the occurrence of a stick-slip limit cycle. The test obtained is more accurate compared to what one gets by building upon the divergence test.

研究动机与目标

• 建立干摩擦振子中存在粘滑极限环的严格数学条件，其摩擦特性具有小的非线性特征。
• 克服现有基于发散性测试的局限性，这些方法可能在粘滑极限环实际存在时仍无法检测到。
• 应用扰动理论分析具有小非线性扰动的分段光滑系统中的滑动-掠过分岔。
• 推导出Stribeck摩擦模型的特定、可计算的条件，以保证有限时间稳定粘滑极限环的出现。
• 通过证明反向不等式在 ε→0+ 时意味着不存在此类极限环，验证该条件的精确性。

提出的方法

• 使用扰动理论分析解在切换流形 $ x_2 = V $ 附近的性质，特别关注周期运动向滑动转变的过程。
• 应用Filippov的微分包含理论，严格定义在不连续面 $ x_2 = V $ 上的滑动解。
• 基于非线性摩擦项 $ F $ 对 $ \nu $ 在 $ \nu = 0 $ 处的导数的积分，推导出一个充分条件（公式3），涉及在区间 $[0, 2\tau]$ 上的 $ \tau $-周期积分。
• 构建一个滑动-掠过分岔情景：当 $ \nu = 0 $ 时，轨迹在 $ \tau = 2\tau $ 处接触 $ x_2 = V $，而在小的 $ \nu > 0 $ 下返回该流形，表明存在极限环。
• 将一般条件应用于Stribeck摩擦模型 $ F(\nu, \nu) = \frac{1-\beta}{1+\nu\theta|\nu|} + \beta + \nu\beta\nu^2 $，导出显式的代数判据（公式18）。
• 将新测试与基于发散性的方法进行比较，表明新条件在检测稳定粘滑极限环方面更具准确性和更低的限制性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在干摩擦振子中，当库仑摩擦增加一个微小非线性项时，何种条件下会引发稳定粘滑极限环？
• RQ2 基于扰动的方法相比经典发散性测试，在检测粘滑振荡方面有何改进？
• RQ3 确保滑动-掠过分岔导致有限时间稳定极限环的精确数学条件是什么？
• RQ4 所推导的条件能否显式应用于Stribeck摩擦模型，以获得可计算的粘滑行为判据？
• RQ5 所推导的充分条件是否具有精确性，使得反向不等式能保证在 $ \nu \to 0^+ $ 时不存在粘滑极限环？

主要发现

• 推导出一个粘滑极限环存在的新充分条件：$ cV\tau < \bigint_{0}^{2\tau} F_{\nu}'(V\tau\text{cos}\tau - V, 0)\text{cos}\tau d\tau $，该条件依赖于非线性摩擦项的导数。
• 该条件被证明是精确的：若不等式方向反转，则当 $ \nu \to 0^+ $ 时不存在粘滑极限环，表明这是此类极限环参数空间的边界。
• 对于Stribeck摩擦模型 $ F(\nu, \nu) = \frac{1-\beta}{1+\nu\theta|\nu|} + \beta + \nu\beta\nu^2 $，该条件简化为 $ -c + \theta(1-\beta) - 2\beta V > 0 $，提供了一个简洁的代数判据。
• 新测试比基于发散性的方法更准确，即使在发散性测试因发散量不足为正而失效时，新方法仍能检测到极限环。
• 该方法确认了非线性项的关键作用：仅含小粘性阻尼的纯库仑摩擦无法产生粘滑极限环，凸显了非线性摩擦在实现此类动力学行为中的必要性。
• 只要所推导的条件成立，对于所有充分小的 $ \nu > 0 $，有限时间稳定粘滑极限环的存在性可被严格证明。