[论文解读] A new truncated $M$-fractional derivative type unifying some fractional derivative types with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用 23

一句话总结

本文引入了一种新的截断$M$-分数阶导数，记为${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$，该导数将共形、替代、广义替代和$M$-分数阶导数统一为一个满足经典微积分性质的单一算子。该方法采用具有一个参数的截断Mittag-Leffler函数，使得$M$-分数阶热方程能够获得解析解，且在$\beta \to 1$和$\alpha \to 1$的极限下，解退化为已知解，表明其与整数阶和分数阶微积分框架的一致性。

ABSTRACT

We introduce a truncated $M$-fractional derivative type for $α$-differentiable functions that generalizes four other fractional derivatives types recently introduced by Khalil et al., Katugampola and Sousa et al., the so-called conformable fractional derivative, alternative fractional derivative, generalized alternative fractional derivative and $M$-fractional derivative, respectively. We denote this new differential operator by $_{i}\mathscr{D}_{M}^{α,β}$, where the parameter $α$, associated with the order of the derivative is such that $ 0 0$ and $ M $ is the notation to designate that the function to be derived involves the truncated Mittag-Leffler function with one parameter. The definition of this truncated $M$-fractional derivative type satisfies the properties of the integer-order calculus. We also present, the respective fractional integral from which emerges, as a natural consequence, the result, which can be interpreted as an inverse property. Finally, we obtain the analytical solution of the $M$-fractional heat equation and present a graphical analysis.

研究动机与目标

• 将四种现有的分数阶导数类型——共形、替代、广义替代和$M$-分数阶——统一为一个满足经典微积分性质的单一算子。
• 利用具有一个参数的截断Mittag-Leffler函数，定义一种新的截断$M$-分数阶导数。
• 建立相关的$M$-分数阶积分，并证明其与导数的逆关系。
• 将新导数应用于解析求解$M$-分数阶热方程，并分析解的行为。
• 证明新导数在极限情况下可退化为已知的分数阶和整数阶解。

提出的方法

• 通过使用具有一个参数的截断Mittag-Leffler函数$E_{\beta}^{(i)}(z)$，定义截断$M$-分数阶导数，以推广现有的分数阶导数。
• 证明导数算子${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$满足经典微积分性质，包括线性性、乘积法则、链式法则以及Rolle定理和中值定理。
• 引入$M$-分数阶积分，并严格证明其与导数的逆关系，确立导数与积分之间的基本关系。
• 使用分离变量法解析求解$M$-分数阶热方程，得到包含Mittag-Leffler函数的级数解。
• 使用MATLAB进行图形分析，可视化不同$\alpha$和$\beta$参数下解的行为。
• 分析极限情况：当$\beta \to 1$时，解收敛于Çenesiz等人提出的分数阶热方程解；当$\alpha \to 1$时，解退化为经典热方程解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个单一的分数阶导数算子，将共形、替代、广义替代和$M$-分数阶导数统一，同时保持经典微积分性质？
• RQ2 所提出的截断$M$-分数阶导数是否满足乘积法则、链式法则以及中值定理等基本微积分法则？
• RQ3 在标准边界和初始条件下，$M$-分数阶热方程的解析解是什么？
• RQ4 解在不同$\alpha$和$\beta$参数取值下的行为如何？与已知解相比有何差异？
• RQ5 在$\beta \to 1$和$\alpha \to 1$的极限情况下，解会发生什么变化？是否能恢复分数阶和经典微积分中的已知结果？

主要发现

• 截断$M$-分数阶导数${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$满足所有经典微积分性质，包括线性性、乘积法则、链式法则以及Rolle定理和中值定理。
• $M$-分数阶积分为定义并证明为截断$M$-分数阶导数的逆，确立了导数与积分之间的基本微积分关系。
• $M$-分数阶热方程的解析解被推导为包含正弦函数和含Gamma函数及$t^\alpha$的指数项的无穷级数。
• 在$\beta \to 1$的极限下，解退化为Çenesiz等人提出的分数阶热方程解，证实了与先前工作的兼容性。
• 在$\alpha \to 1$的极限下，解收敛于经典热方程解，表明可恢复整数阶微积分结果。
• 使用MATLAB的图形分析表明，解的衰减速率取决于$\alpha$和$\beta$，$\alpha$越小、$\beta$越大时衰减越慢，表明存在记忆效应和非局部特性。