[论文解读] A new two parameter lifetime distribution: model and properties

Hojjatollah Zakerzadeh, Eisa Mahmoudi|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 23被引用 34

一句话总结

本文提出了一种新的两参数寿命分布——Lindley-几何（LG）分布，通过复合Lindley分布与几何分布而形成。研究表明，LG分布可表现出递减、递增或浴盆形的失效速率，相较于基线Lindley分布具有更高的灵活性，并在真实生存数据的应用中显示出更优的拟合效果。

ABSTRACT

In this paper a new lifetime distribution which is obtained by compounding Lindley and geometric distributions, named Lindley-geometric (LG) distribution, is introduced. Several properties of the new distribution such as density, failure rate, mean lifetime, moments, and order statistics are derived. Furthermore, estimation by maximum likelihood and inference for large sample are discussed. The paper is motivated by two applications to real data sets and we hope that this model be able to attract wider applicability in survival and reliability.

研究动机与目标

• 通过复合Lindley分布与几何分布，构建一种新的灵活两参数寿命分布。
• 对生存与可靠性数据中的复杂失效速率行为（如浴盆形和单峰模式）进行建模。
• 提供基于EM算法的最大似然估计与推断程序的统计框架。
• 通过真实世界数据应用与拟合优度比较，评估模型性能。
• 通过几何复合引入集中参数，扩展Lindley分布的适用性。

提出的方法

• LG分布通过将一个Lindley分布的随机变量与几何分布数量的组件进行复合而推导得出，其中组件的最小值定义了新的寿命变量。
• 概率密度函数（PDF）表示为 $ f(y) = \frac{\theta^{2}}{\theta+1}(1-p)(1+y)e^{-\theta y}\left[1 - p(1 + \frac{\theta y}{\theta+1})e^{-\theta y}\right]^{-2} $，其中参数 $ \theta > 0 $ 且 $ 0 < p < 1 $。
• 风险率函数表示为 $ h(y) = \frac{\theta^{2}(\theta+1)(1+y)}{(1+\theta+\theta y)[\theta+1 - p(1+\theta+\theta y)e^{-\theta y}]} $，可用于分析失效速率行为。
• 利用EM算法进行最大似然估计，以处理复合过程中产生的隐变量结构。
• 模型的矩、顺序统计量、残余寿命函数以及Bonferroni/Lorenz曲线均进行了解析推导。
• 计算了概率加权矩以及关于均值和中位数的平均偏差，以支持稳健的统计推断。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过复合Lindley分布与几何分布，构建一种新的两参数寿命分布，以在失效率建模中提供更高的灵活性？
• RQ2 所得到的Lindley-几何分布的解析性质（如密度函数、风险率、矩和顺序统计量）是什么？
• RQ3 LG分布是否表现出浴盆形或单峰形的失效率行为？在何种参数条件下发生？
• RQ4 与指数分布、Weibull分布和Lindley分布相比，LG模型在真实生存数据上的拟合效果如何？
• RQ5 EM算法能否在有限样本中有效估计LG分布的参数，并实现可靠的推断？

主要发现

• LG分布的失效率可随 $ \theta $ 和 $ p $ 的取值表现出递减、递增或浴盆形，当 $ p > \frac{1}{1+\theta^2} $ 时呈现浴盆形行为。
• 当 $ p \leq \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} $ 时，密度函数为单峰形，否则为递减形，表明其具有丰富的形状灵活性。
• 在两个真实数据集上与指数分布、Weibull分布和Lindley分布的比较中，LG模型表现出更优的拟合效果，第一组数据的AIC和BIC值分别为110.6和116.6，第二组数据分别为112.6和114.7。
• EM算法在参数估计中成功收敛，支持在大样本中实现可靠的推断。
• 模型的矩、矩生成函数和顺序统计量均可进行解析处理，支持全面的统计分析。
• 概率加权矩以及关于均值和中位数的平均偏差均已推导得出，增强了模型在可靠性与不平等分析中的实用性。