[论文解读] A New Viewpoint to the Discrete Approximation: Discrete Yang-Fourier Transforms of Discrete-time Fractal Signal

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于局部分数阶微积分和离散Yang-Fourier变换（DYFT）的分形信号新型离散逼近框架。通过在局部分数阶微积分背景下应用Yang-Fourier变换，该方法实现了对离散时间分形信号的精确谱分析，为信号处理和数学物理领域中非可微、自相似信号提供了一种新的计算工具。

ABSTRACT

It is suggest that a new fractal model for the Yang-Fourier transforms of discrete approximation based on local fractional calculus and the Discrete Yang-Fourier transforms are investigated in detail.

研究动机与目标

• 开发一种新的分形信号离散逼近方法，以反映其非可微、自相似的特性。
• 通过局部分数阶微积分，将Yang-Fourier变换框架扩展至离散时间信号。
• 提供一种计算上可行且数学上严谨的工具，用于分析离散分形信号。
• 弥合连续分形信号理论与离散信号处理应用之间的差距。
• 为工程和物理背景下具有分形特性的信号谱分析建立基础。

提出的方法

• 应用局部分数阶微积分来建模在经典意义下不可微的分形信号。
• 推导离散Yang-Fourier变换（DYFT）作为连续Yang-Fourier变换在分形函数上的离散对应形式。
• 采用基于局部分数阶导数和积分的离散逼近方案，以处理定义在分形集上的信号。
• 提出一种保持分形信号自相似性和不可微特性的变换框架。
• 在分形域上采用离散采样方法计算DYFT，实现数值计算的可行性。
• 通过与现有局部分数阶微积分和Yang-Fourier变换原理的理论一致性验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过局部分数阶微积分将Yang-Fourier变换适配于离散时间分形信号？
• RQ2 定义在分形集上的信号，其离散Yang-Fourier变换的数学表达式是什么？
• RQ3 该离散逼近能否保持分形信号的自相似性和不可微特性？
• RQ4 在离散信号分析中，使用局部分数阶微积分具有哪些计算和理论优势？
• RQ5 所提出的DYFT与经典傅里叶变换在分析分形信号方面有何比较优势？

主要发现

• 通过局部分数阶微积分，成功构建了离散时间分形信号的离散Yang-Fourier变换（DYFT）。
• 该方法实现了对在经典意义下不可微的信号的谱分析，同时保持其分形结构。
• 该框架为分形域上的连续Yang-Fourier变换提供了在数学上一致的离散逼近。
• 该方法在理论上与局部分数阶微积分保持一致，并将Yang-Fourier变换的适用范围扩展至离散系统。
• 所得变换适用于涉及分形数据的信号处理应用中的数值实现。
• 本文为数学物理和工程领域中自相似、非光滑信号的分析建立了一条新的计算路径。