[论文解读] A Noisy-Influence Regularity Lemma for Boolean Functions

Chris Jones|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于噪声影响（noisy influence）这一输入位局部相关性度量的布尔函数新颖正则性引理。证明了函数的大多数限制（restriction）具有较小的噪声影响，从而在多数稳定化定理（Majority is Stablest Theorem）中实现了更弱的条件，该成果在理论计算机科学的不变性原理与伪随机性分析中具有应用价值。

ABSTRACT

We present a regularity lemma for Boolean functions $f:\{-1,1\}^n o \{-1,1\}$ based on noisy influence, a measure of how locally correlated $f$ is with each input bit. We provide an application of the regularity lemma to weaken the conditions on the Majority is Stablest Theorem. We also prove a "homogenized" version stating that there is a set of input bits so that most restrictions of $f$ on those bits have small noisy influences. These results were sketched out by [OSTW10], but never published. With their permission, we present the full details here.

研究动机与目标

• 基于与输入位的局部相关性度量——噪声影响，构建布尔函数的正则性引理。
• 通过引入这一新型正则性框架，弱化多数稳定化定理所需的条件。
• 建立正则性引理的“同质化”版本，证明仅需常数个比特即可使大多数限制具有小的噪声影响。
• 形式化并补全 [OSTW10] 中未发表的关于噪声影响正则性的草图及其应用。
• 为在不变性原理与高斯空间近似背景下分析低影响函数提供理论基础。

提出的方法

• 采用决策树分解方法，其中每个内部节点查询一个比特，每个叶节点对应原函数的一个子函数。
• 通过方向导数与噪声稳定性定义噪声影响，其中 $\operatorname{Inf}^{(1-\delta)}_i[f] = \mathbb{E}[|D_i f(x)|^2]$，用于衡量在噪声下对输入位的局部敏感性。
• 应用递归分解过程，选择噪声影响较大的比特以细化树结构，确保大多数叶节点上的子函数具有小的 $(\epsilon,\delta)$-噪声影响。
• 基于傅里叶系数引入拟随机性条件：若对所有 $i$，有 $\sum_{R \ni i} (1-O(\delta))^{\abs{R}-1} \hat{f}(R)^2 \leq \epsilon^2$，则称 $f$ 为 $(\epsilon,\delta)$-拟随机。
• 利用广义体积多数稳定化定理（General-Volume Majority is Stablest Theorem）对子函数的噪声稳定性进行有界，结合引理 9 中关于限制的均值集中性，实现整体控制。
• 利用 $\Lambda_\rho$ 的 2-Lipschitz 性质，将子函数的界传递至全函数，通过组合叶节点上的能量贡献实现整体控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于噪声影响而非傅里叶均匀性，为布尔函数构造正则性引理？
• RQ2 能否通过使用噪声影响正则性，弱化多数稳定化定理的条件？
• RQ3 是否存在正则性引理的“同质化”版本，使得每一层均查询同一比特，从而保证大多数限制具有小的噪声影响？
• RQ4 拟随机性参数与限制下的均值稳定性之间有何关系？该关系能否用于有界噪声稳定性？
• RQ5 在正则性分解中，查询比特数量与噪声影响大小之间的定量权衡关系为何？

主要发现

• 本文证明了定理 1：对任意满足 $\mathbb{E}[f^2] \leq 1$ 的 $f:\{-1,1\}^n \to \mathbb{R}$，存在深度至多为 $1/(\epsilon \delta \gamma)$ 的决策树，使得除 $\gamma$ 的分数外，所有子函数均具有 $(\epsilon,\delta)$-小的噪声影响。
• 定理 2 建立了同质化版本：存在大小至多为 $2 \uparrow\uparrow 1/(\epsilon \delta \gamma)$ 的集合 $J \subseteq [n]$，使得除 $\gamma$ 的分数外，$f$ 在 $J$ 上的所有限制均具有小的噪声影响。
• 多数稳定化定理被弱化：若 $f$ 为 $(\epsilon 2^{-\log^2(1/\epsilon)/(\epsilon \log \log(1/\epsilon))}, \epsilon \log \log(1/\epsilon)/\log^2(1/\epsilon))$-拟随机，则 $\operatorname{Stab}_\rho[f] \leq \Lambda_\rho(\mathbb{E}[f]) + O\left(\frac{\log \log(1/\epsilon)}{\log(1/\epsilon)}\right) \cdot \frac{1}{1-\rho}$。
• 若 $f$ 为 $(\epsilon,\delta)$-拟随机，则对至多 $1/\delta$ 个坐标的任意限制，其均值变化不超过 $2^{1/\delta} \epsilon$，这是控制稳定性的关键工具。
• 噪声稳定性的界在所有子函数上一致成立，整体稳定性通过组合大多数小影响子函数与一小部分有界能量子函数得以控制。
• 本研究完整并形式化了 [OSTW10] 中未发表的草图，提供了完整证明（经许可），并扩展了不变性理论与伪随机性领域的基础工作。