[论文解读] A non-amenable groupoid whose maximal and reduced $C^*$-algebras are the same

Rufus Willett|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 28

一句话总结

本文構造了一個局部緊緻、豪斯多夫、二階可數、étale 的群叢，其非拓撲可約，但其最大與約化 C*-代數同構。該構造改寫了 Higson、Lafforgue 與 Skandalis 對 Baum-Connes 猜想的反例，並利用 Lubotzky 與 Shalom 的性質 FD，確保在非可約情況下 C*-代數仍相等，從而顯示群叢的可約性與 C*-代數相等性之間的逆命題不成立。

ABSTRACT

We construct a locally compact groupoid with the properties in the title. Our example is based closely on constructions used by Higson, Lafforgue, and Skandalis in their work on counterexamples to the Baum-Connes conjecture. It is a bundle of countable groups over the one point compactification of the natural numbers, and is Hausdorff, second countable and étale.

研究动机与目标

• 證明『拓撲可約性 ⇒ C*-代數相等』的逆命題在群叢中不成立。
• 提供一個非可約群叢的具體例子，其最大與約化 C*-代數完全相同。
• 釐清在 étale 群叢背景下，拓撲可約性、測度可約性與 C*-代數相等性之間的關係。
• 回應群叢理論中長期存在的開放問題：C*-代數相等是否意味可約性？

提出的方法

• 改寫 Higson、Lafforgue 與 Skandalis 在 Baum-Connes 猜想反例中使用的群叢構造方法。
• 將群叢構造為自然數集的一點緊化空間上的一族可數群的纖維叢。
• 運用 Lubotzky 與 Shalom 的性質 FD，確保群叢的最大與約化 C*-代數同構。
• 利用 étale 群叢中拓撲可約性與測度可約性等價的事實，但其 C*-代數相等性的逆命題不成立。
• 分析群叢的結構，證明其非拓撲可約，但仍滿足 C*max(G) = C*red(G)。
• 依賴關於精確性與交叉積的已知結果，排除非可約情況下的精確性，從而強化群叢的非可約性。

实验结果

研究问题

• RQ1 群叢的最大與約化 C*-代數相等是否意味拓撲可約性，如同群的情況一樣？
• RQ2 非可約群叢是否可能具有同構的最大與約化 C*-代數？
• RQ3 當拓撲可約性不成立時，測度可約性與 C*-代數相等性在群叢中存在何種關係？
• RQ4 是否存在變換群叢或主群叢，其 C*-代數同構但非可約？
• RQ5 這些結果能否推廣至粗群叢或粗幾何中的均勻 Roe 代數？

主要发现

• 本文構造了一個具體例子：一個局部緊緻、豪斯多夫、二階可數、étale 的群叢，其非拓撲可約。
• 儘管非可約，該群叢的最大與約化 C*-代數仍同構，即 C*max(G) = C*red(G)。
• 該例子以自然數集的一點緊化空間上的一族可數群構造，並使用具有性質 FD 的有限子群序列。
• 該構造依賴於性質 FD 確保群叢的約化 C*-代數為精確代數，此點是最大與約化完備化同構的關鍵。
• 結果顯示，拓撲可約性對 C*max(G) = C*red(G) 並非必要，從而反駁了 Hulanicki 定理向群叢的自然推廣。
• 此例子並未表示測度可約性意味 C*-代數相等，亦未解決變換群叢或主群叢在此脈絡下的狀態。