[论文解读] A non-commutative algorithm for multiplying (7 $\ imes$ 7) matrices using 250 multiplications

Alexandre Sedoglavic|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文提出了一种非交换算法，仅使用250次标量乘法即可完成7×7矩阵乘法，优于此前258次的上界。该方法结合了Strassen的分治技术与已知的矩形矩阵乘法快速算法，特别利用了Smirnov在4×4和3×4子问题上的研究成果，从而减少了总的乘法次数。

ABSTRACT

We present a non-commutative algorithm for multiplying (7x7) matrices using 250 multiplications and a non-commutative algorithm for multiplying (9x9) matrices using 520 multiplications. These algorithms are obtained using the same divide-and-conquer technique.

研究动机与目标

• 开发7×7矩阵乘法所需乘法次数的新上界。
• 通过非交换矩阵代数扩展分治方法，以降低计算复杂度。
• 改进此前已知的7×7矩阵乘法258次乘法的上界。
• 探讨该方法在更大矩阵（如9×9）上应用时的局限性。
• 证明该方法的有效性受限于当前对快速矩形矩阵算法的认知。

提出的方法

• 该算法递归地应用Strassen的2×2矩阵乘法公式，将7×7矩阵乘法分解为更小的子问题。
• 采用块矩阵分解方法，将7×7矩阵填充为8×8矩阵（通过添加零行和零列），以支持4×4块结构的递归应用。
• 该方法依赖于一个关键不等式（命题1），该不等式以较小的u×u和v×v子问题为条件，界定了(u+v)×(u+v)矩阵乘法的复杂度。
• 结合已知的快速矩形矩阵算法——特别是Smirnov针对(2×3)×(3×4)、(2×4)×(4×3)和(2×3)×(3×5)乘法的算法——以最小化总乘法次数。
• 使用张量公式和迹等价性来解释矩阵乘法的双线性形式，从而将分解为对应于子乘法的迹项。
• 最终算法通过聚合这些子乘法的结果构建而成，确保仅用250次乘法即可正确重构7×7乘积矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用少于258次乘法构造出7×7矩阵的非交换矩阵乘法算法？
• RQ2 Strassen方法与矩形矩阵算法的结合如何影响平方矩阵乘法中的总乘法次数？
• RQ3 当该分治方法应用于9×9矩阵时，其理论极限是什么？
• RQ4 该方法的性能在多大程度上受限于快速矩形矩阵算法的可用性？
• RQ5 该框架能否推广至7×7和9×9以外的其他矩阵尺寸？

主要发现

• 本文在7×7矩阵乘法中实现了250次乘法的新上界，优于此前已知的258次上界。
• 该算法基于Strassen的2×2块方法与优化的矩形子问题构建，特别利用了Smirnov在(4×4)×(4×3)及类似尺寸上的快速算法。
• 对于9×9矩阵乘法，该方法得出520次乘法的上界，比已知的514次乘法算法多2次，但仍显著优于早期的上界。
• 该方法的性能受限于当前对快速矩形矩阵乘法算法的认知，这一点从520与514次乘法结果之间的差距中得到证明。
• 该框架具有可推广性，可应用于其他矩阵尺寸，如通过类似的递归分解推导出(8×8)、(9×9)和(10×10)矩阵的上界。
• 该算法的成功关键取决于高效矩形矩阵乘法算法的可获得性，而目前这些算法限制了可实现的改进幅度。