[论文解读] A non-commutative, analytic version of Hilbert's 17-th problem in type II$_1$ von Neumann algebras

Florin Rădulescu|ArXiv.org|Apr 26, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文在 II₁ 类冯诺依曼代数中建立了希尔伯特第17问题的非交换、解析类比，证明了在所有 II₁ 因子表示下具有非负迹的对称解析非交换级数，其循环等价于平方和的弱极限。关键结果将此与康nes嵌入猜想联系起来，表明该猜想等价于此类级数的矩阵迹不等式条件。

ABSTRACT

We prove a non-commutative version of the Hilbert's 17th problem, giving a characterization of the class of non-commutative polynomials in n-undeterminates that have positive trace when evaluated in n-selfadjoint elements in arbitrary II1 von Neumann algebra. As a corollary we prove that Connes's embedding conjecture is equivalent to a statement that can be formulated entirely in the context of finite matrices.

研究动机与目标

• 在 II₁ 类冯诺依曼代数的背景下，建立希尔伯特第17问题的非交换、解析版本。
• 表征在所有 II₁ 因子表示下产生非负迹的对称解析非交换级数。
• 证明此类级数在非交换解析代数中循环等价于平方和的弱极限。
• 证明康nes嵌入猜想等价于对称解析级数的矩阵迹不等式条件。

提出的方法

• 将解析非交换级数代数 $ \mathbb{C}_{\rm an}[Y_1,\ldots,Y_n] $ 定义为系数衰减足够快以确保对所有半径收敛的形式级数。
• 引入一个将 $ (a_I Y_I)^* = \overline{a_I} Y_{I^{\rm op}} $ 扩展的典范对合，并定义自伴级数的实子空间 $ \mathbb{C}_{\rm an}^{\rm sym}[Y_1,\ldots,Y_n] $。
• 将循环等价定义为差值是 $ Y_I - Y_{\tilde{I}} $ 的标量倍数的弱极限，其中 $ \tilde{I} $ 是 $ I $ 的循环置换。
• 若一个级数属于有限和 $ \sum_s b_s^* b_s $ 的弱闭包，且 $ b_s \in \mathbb{C}_{\rm an}[Y_1,\ldots,Y_n] $，则称其为平方和。
• 使用 GNS 构造将一个矩序列 $ (\theta_I)_{I \in \mathcal{I}_n} $ 关联到一个循环向量 $ Z_\Phi $，并证明矩的循环对称性蕴含状态的酉不变性。
• 证明若对称解析级数 $ p $ 满足对任意 II₁ 因子 $ M $ 中的所有自伴 $ X_i $，有 $ \tau(p(X_1,\ldots,X_n)) \geq 0 $，则 $ p $ 循环等价于平方和的弱极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对称解析非交换级数 $ p \in \mathbb{C}_{\rm an}^{\rm sym}[Y_1,\ldots,Y_n] $ 必然循环等价于平方和的弱极限？
• RQ2 在所有 II₁ 冯诺依曼代数中，$ p(X_1,\ldots,X_n) $ 的迹正性如何与它的代数结构相关？
• RQ3 康nes嵌入猜想能否完全用解析非交换多项式的矩阵迹不等式重新表述？
• RQ4 II₁ 因子的矩序列与有限矩阵代数的矩序列之间的确切关系是什么？

主要发现

• 若对任意 II₁ 冯诺依曼代数 $ M $ 中的所有自伴 $ X_i $，有 $ \tau(p(X_1,\ldots,X_n)) \geq 0 $，则对称解析非交换级数 $ p $ 循环等价于平方和的弱极限。
• 康nes嵌入猜想成立当且仅当每个对称解析级数 $ p \in \mathbb{C}_{\rm an}^{\rm sym}[Y_1,\ldots,Y_n] $，满足对所有 $ N $ 和所有自伴矩阵 $ X_i \in M_N(\mathbb{C}) $，有 $ \mathop{\rm tr}(p(X_1,\ldots,X_n)) \geq 0 $，都循环等价于平方和的弱极限。
• II₁ 因子的矩序列 $ (\theta_I)_{I \in \mathcal{I}_n} $ 是有限矩阵代数矩序列的弱极限，当且仅当该序列具有循环对称性并满足一致增长条件。
• 对循环对称且快速衰减的矩序列应用 GNS 构造，可得到一个具有忠实迹的 II₁ 类冯诺依曼代数，且相应的向量是循环且分离的。
• 有限矩阵代数的矩序列集合在 II₁ 因子的矩序列集合中弱稠密，当且仅当康nes嵌入猜想成立。