[论文解读] A non-coordinatizable sectionally complemented modular lattice with a large J\\'onsson four-frame

Friedrich Wehrung|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2010

Rings, Modules, and Algebras参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文構造了一個基數為 ℵ₁ 的非坐標化分段補全模 lattice，其具有大型 4-框架，從而解決了 Jónsson 於 1962 年提出的開放問題。利用 Banaschewski 函數與指數為 3 的單位正則環，本文證明即使 lattice 是具有擴張 5-框架的坐標化補全模 lattice 的理想，大型 4-框架的存在也無法推出坐標化性。

ABSTRACT

A sectionally complemented modular lattice L is coordinatizable if it is isomorphic to the lattice L(R) of all principal right ideals of some von Neumann regular (not necessarily unital) ring R. We say that L has a large 4-frame if it has a homogeneous sequence (a_0,a_1,a_2,a_3) such that the neutral ideal generated by a_0 is L. J\\'onsson proved in 1962 that if L has a countable cofinal sequence and a large 4-frame, then it is coordinatizable; whether the cofinal sequence assumption could be dispensed with was left open. We solve this problem by finding a non-coordinatizable sectionally complemented modular lattice L with a large 4-frame; it has cardinality aleph one. Furthermore, L is an ideal in a (necessarily coordinatizable) complemented modular lattice with a spanning 5-frame. Our proof uses Banaschewski functions. A Banaschewski function on a bounded lattice L is an antitone self-map of L that picks a complement for each element of L. In an earlier paper, we proved that every countable complemented modular lattice has a Banaschewski function. We prove that there exists a unit-regular ring R of cardinality aleph one and index of nilpotence 3 such that L(R) has no Banaschewski function.

研究动机与目标

• 解決 lattice 理論中長期存在的開放問題：具有大型 4-框架的分段補全模 lattice 是否必須是坐標化的。
• 構造 Jónsson 1962 年猜想的反例，即大型 4-框架不需依賴可數共終序列即可推出坐標化性。
• 證明坐標化補全模 lattice 的理想不一定是坐標化的，即使其周圍 lattice 具有擴張 5-框架。
• 確立具有大型 4-框架的坐標化分段補全模 lattice 類別的非一階可定義性。

提出的方法

• 構造一個基數為 ℵ₁ 且幂零指數為 3 的單位正則環 R，使得 L(R)（即 R 的主右理想 lattice）不允許 Banaschewski 函數。
• 使用凝聚體提升引理，將 Banaschewski 函數從商 lattice 提升至更大的 lattice，進而實現具有大型 4-框架的非坐標化 lattice 的構造。
• 利用直極限與 lattice 的有限積來構造一個具有擴張 5-框架的補全模 lattice L′，確保 L′ 是坐標化的。
• 證明所構造的 lattice L 同構於 L′ 的一個理想，並利用環的直積中理想結構與均勻序列的性質。
• 應用 Banaschewski 軌跡理論，證明在具有大型 4-框架的 lattice 中，Banaschewski 軌跡的存在性等價於坐標化性。
• 使用模型論技術，包括初等子 lattice 與一階邏輯，證明具有大型 4-框架的坐標化 lattice 類別不是一階可定義的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分段補全模 lattice 中，若存在大型 4-框架，是否仍可推出坐標化性，即使缺乏可數共終序列？
• RQ2 是否存在一個非坐標化的分段補全模 lattice，其具有大型 4-框架？若存在，其必須具備何種結構性質？
• RQ3 具有大型 4-框架的坐標化分段補全模 lattice 類別是否一階公理化？
• RQ4 坐標化補全模 lattice 的理想是否可能不具坐標化性，即使其周圍 lattice 具有擴張 5-框架？
• RQ5 若 lattice 中不存在 Banaschewski 函數，是否可推出其非坐標化性，特別是在單位正則環的脈絡下？

主要发现

• 明確構造了一個基數為 ℵ₁ 且具有大型 4-框架的非坐標化分段補全模 lattice L，從而對 Jónsson 1962 年的問題作出否定回答。
• 該 lattice L 同構於一個具有擴張 5-框架的補全模 lattice L′ 的理想，且 L′ 是坐標化的，顯示坐標化 lattice 的理想不一定是坐標化的。
• 構造了一個基數為 ℵ₁ 且幂零指數為 3 的單位正則環 R，使得 L(R) 不具有 Banaschewski 函數，進而推出 L(R) 不是坐標化的。
• lattice L 是 4/5-完全的，且其每個主理想都是坐標化的，儘管 L 本身不是坐標化的。
• 通過構造 L 的一個可數初等子 lattice（其為坐標化而 L 不是），證明具有大型 4-框架的坐標化分段補全模 lattice 類別不是一階可定義的。
• 證明在具有大型 4-框架的 lattice 中，Banaschewski 軌跡的存在性等價於坐標化性，且所構造的 lattice L 不具有此類軌跡，從而確認其非坐標化性。