[论文解读] A non-dynamically coherent example on ${\mathbb T}^3$

Federico Rodriguez Hertz, Jana Rodriguez Hertz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 15

一句话总结

该论文通过扰动Anosov映射与圆上的Morse-Smale映射的结合，构造了首个已知的在3-环面𝕋³上具有1维中心丛的非动态一致部分双曲微分同胚，其关键结果是存在一个$C^1$-开集的此类微分同胚，由于存在一个紧致且吸引的中心-不稳定环面，导致其非动态一致，从而解决了自1975年以来长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

In this paper we give the first example of a non-dynamically coherent partially hyperbolic diffeomorphism with one-dimensional center bundle. The existence of such an example had been an open question since 1975.

研究动机与目标

• 解决自1975年以来长期悬而未决的开放问题：在𝕋³上具有1维中心丛的部分双曲微分同胚是否自动具备动态一致性。
• 构造𝕋³上一个部分双曲微分同胚的明确示例，其具有1维中心丛但非动态一致。
• 证明在3-流形中，紧致且吸引的中心-不稳定环面的存在可能阻碍动态一致性。
• 表明在同伦于双曲环面自同构的𝕋³上部分双曲微分同胚空间是不连通的，原因在于存在非一致的示例。

提出的方法

• 通过在圆因子上施加Morse-Smale微分同胚，对$\mathbb{T}^2 \times \mathbb{S}^1 = \mathbb{T}^3$上的乘积Anosov微分同胚$A \times \text{id}$进行扰动。
• 构造一个不变且吸引的中心-不稳定（cu）环面$T^{cu}$，其源于扰动的动力学。
• 利用$E^c \oplus E^u$在$T^{cu}$外部唯一可积的事实，表明任何不变的$cu$-叶状结构必须包含一条紧致叶。
• 基于先前结果[14]（即在流形的非紧致部分不可能存在此类紧致叶）使用反证法。
• 利用法向双曲性以及小$C^1$-扰动下不变叶状结构的连续性，证明邻近微分同胚的中心叶状结构仍保持不可积。
• 利用贴花扩张性与中心-稳定叶状结构的构造，表明在排斥环面附近，中心-稳定叶上的强稳定叶状结构呈现Reeb型特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 自1975年以来，部分双曲微分同胚在𝕋³上是否自动具备动态一致性，这一问题长期悬而未决，是否成立？
• RQ2 在𝕋³上是否存在一个非动态一致的示例，其具有1维中心丛，尽管中心子丛无不可积性？
• RQ3 在3-流形中，紧致且吸引的中心-不稳定环面的存在是否阻碍动态一致性？
• RQ4 在同伦于双曲环面自同构的𝕋³上，部分双曲微分同胚空间是否不连通？
• RQ5 在三维部分双曲系统中，中心丛的局部唯一可积性是否等价于动态一致性？

主要发现

• 该论文构造了一个$C^1$-开集的𝕋³上部分双曲微分同胚，其非动态一致，提供了首个具有1维中心丛的此类示例。
• 非一致性的根源在于存在一个紧致且吸引的中心-不稳定环面$T^{cu}$，它迫使任何$cu$-叶状结构必须包含一条紧致叶，与已知结果[14]矛盾。
• 在同伦于双曲环面自同构$A \times \text{id}$的𝕋³上微分同胚集合是不连通的，这由非一致部分的存在所证明。
• 在$C^1$-开集中，中心丛是非局部唯一可积的，证明了即使在三维部分双曲系统中，唯一可积性也并非局部保证。
• 所构造示例的中心-稳定叶状结构具有贴花扩张性且为$C^1$，但在排斥环面附近，其叶上的强稳定叶状结构呈现Reeb型特征。
• 该示例证实了一个猜想：在3-流形中，非动态一致的示例必须存在一个位于$E^c \oplus E^u$或$E^s \oplus E^c$切空间的周期环面，而本例中恰好存在这样的环面。