[论文解读] A non FLC regular pentagonal tiling of the plane

Maria Ramirez-Solano|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文证明，通过复数缩放的代换规则构造的平面共形正则五边形密铺，其在共形同构下不满足有限局部复杂性（FLC）。尽管该密铺是具有明确定义的组合结构的共形代换密铺，但在共形等价下包含无限多个不同的瓷砖形状，违反了FLC，导致在该群作用下密铺壳不紧致。

ABSTRACT

In this paper we describe the pentagonal tiling of the plane defined in the article "A regular pentagonal tiling of the plane" by P. L. Bowers and K. Stephenson as a conformal substitution tiling and summarize many of its properties given in the mentioned article. We show furthermore why such tiling is not FLC with respect to the set of conformal isomorphisms.

研究动机与目标

• 将平面的共形正则五边形密铺表征为具有复数缩放的共形代换密铺。
• 利用拓扑动力系统与壳构造的框架分析该密铺的性质。
• 研究该密铺在共形同构群作用下是否满足有限局部复杂性（FLC）。
• 证明由于存在无限多个非共形等价的瓷砖形状，FLC在共形同构下不成立。
• 阐明FLC在非等距设定（特别是共形几何中）的局限性，并提出替代的复杂性概念。

提出的方法

• 利用Bowers与Stephenson的工作导出的复数缩放因子λ = (−324)^{1/5}，将密铺构造为共形代换密铺。
• 应用共形映射Φ，将密铺转化为复平面上的几何实现，通过解析延拓将瓷砖映射为区域。
• 使用代换规则ω = Φ⁻¹ ∘ α ∘ Φ，其中α(z) = λz，生成超瓷砖的逐次逼近。
• 利用Hausdorff度量分析瓷砖边界的收敛性，表明归一化瓷砖收敛于缩放因子为b ≈ 1.3的极限形状。
• 在轨道集O(T)上应用度量d，并构造O(T)的完备化作为连续壳Ω_T，从而支持拓扑动力系统分析。
• 在定理6.2中采用反证法，证明由于存在无限多个非相似但直径有界的瓷砖，FLC在共形同构下不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形正则五边形密铺能否被描述为具有有限原型瓷砖集与复数缩放的共形代换密铺？
• RQ2 该密铺在共形同构群作用下是否满足有限局部复杂性（FLC）？
• RQ3 该密铺的壳在共形等价下的几何与拓扑行为如何？与经典FLC有何不同？
• RQ4 为何标准FLC概念在共形设定下失效？应采用何种替代复杂性准则？
• RQ5 当几何FLC失效时，组合FLC是否仍能在子复形之间的同构下保持？

主要发现

• 该密铺是由复数缩放因子λ = (−324)^{1/5}生成的共形代换密铺，每个原型瓷砖被替换为共形缩放的副本。
• 中心瓷砖τ₀通过Φ映射到复平面上的区域τ₀，且逐次逼近tₙ = Φ₁(Kₙ)在Hausdorff度量下收敛于τ₀。
• 序列(τⱼⁿ)中的归一化瓷砖在Hausdorff度量下收敛于b·b̄τ₀，其中b ≈ 1.3，表明在缩放下存在极限形状。
• 该密铺包含无限多个直径小于b·diam(τ₀)（b ≈ 1.3）的瓷砖，且任意两个均不共形等价。
• 该密铺在共形同构群作用下不满足FLC，因为存在无限多个非共形等价但尺寸有界的瓷砖。
• 当FLC不成立时，壳Ω_T在标准度量下不紧致，且群作用失去最小性与传递性等关键拓扑性质。