[论文解读] A Non-Gaussian Option Pricing Model with Skew

L. Borland, J. P. Bouchaud|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2004

Stochastic processes and financial applications被引用 8

一句话总结

本文提出了一种非高斯期权定价模型，通过在单一随机源的随机波动率框架下引入偏度和厚尾收益分布，扩展了该框架。利用广义福克-普朗克方程和标度解法，推导出适用于多个到期期限的欧式看涨期权价格的闭式近似解，其结果与实证市场数据高度吻合，并在特定情况下恢复了布莱克-斯科尔斯和CEV极限。

ABSTRACT

Closed form option pricing formulae explaining skew and smile are obtained within a parsimonious non-Gaussian framework. We extend the non-Gaussian option pricing model of L. Borland (Quantitative Finance, {\bf 2}, 415-431, 2002) to include volatility-stock correlations consistent with the leverage effect. A generalized Black-Scholes partial differential equation for this model is obtained, together with closed-form approximate solutions for the fair price of a European call option. In certain limits, the standard Black-Scholes model is recovered, as is the Constant Elasticity of Variance (CEV) model of Cox and Ross. Alternative methods of solution to that model are thereby also discussed. The model parameters are partially fit from empirical observations of the distribution of the underlying. The option pricing model then predicts European call prices which fit well to empirical market data over several maturities.

研究动机与目标

• 开发一种简约的非高斯期权定价模型，以捕捉市场偏度和厚尾收益分布。
• 通过波动率-股价相关性引入杠杆效应，而无需引入额外的随机源。
• 推导适用于多个到期期限的欧式看涨期权的闭式近似解，使其与实证市场数据匹配。
• 确保该模型在极限情况下可退化为标准的布莱克-斯科尔斯和CEV模型。
• 提供一种动态一致的模型，避免纯粹基于校准的局部波动率方法的缺陷。

提出的方法

• 通过引入与杠杆效应一致的波动率-股价相关性，扩展了博尔兰（Borland，2002）的非高斯模型。
• 推导出在具有幂律尾部的非高斯Lévy过程中股票价格动态的广义福克-普朗克方程。
• 使用标度假设，将福克-普朗克方程简化为虚构维度下的非线性径向扩散方程。
• 通过变量变换，将非线性扩散方程转化为有效维度 $d'$ 下的标准径向扩散方程。
• 利用贝塞尔函数和各向同性初始条件在超球面上的叠加原理求解该方程。
• 通过求解变换后的扩散方程，推导出欧式看涨期权价格的近似闭式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够通过具有幂律尾部和偏度的非高斯随机过程，在不校准至隐含波动率微笑曲面的情况下，重现观测到的期权市场价格？
• RQ2 如何在仅含单一随机源的框架内，一致地建模杠杆效应，同时保持市场完备性？
• RQ3 当基础收益分布偏离对数正态分布并具有偏度和厚尾时，期权定价公式的解析结构是什么？
• RQ4 该模型的解在极限情况下如何与标准布莱克-斯科尔斯和CEV模型相关联？
• RQ5 该模型是否能够在不拟合隐含波动率曲面的情况下，准确生成多个到期期限的期权价格？

主要发现

• 该模型为多个到期期限的欧式看涨期权提供了与实证市场数据高度吻合的闭式近似解。
• 当 $q=1$、$ u=1$ 时，解退化为标准布莱克-斯科尔斯模型；当弹性波动率恒定时，解退化为CEV模型。
• 通过变量变换和标度假设，广义福克-普朗克方程被转化为 $d'$ 个有效维度下的径向扩散方程。
• 初始条件对应于 $d'$ 维空间中超球面上的 $ ho$-函数，可通过贝塞尔函数和角向积分求解。
• 通过幂律尾部指数 $q=3$，模型成功捕捉了偏度和厚尾特性，与金融收益的实证观察一致。
• 该模型通过基于真实随机过程而非对观测期权价格的校准，避免了局部波动率模型的动态不一致性。