[论文解读] A Non-Nested Multilevel Method for Meshless Solution of the Poisson Equation in Heat Transfer and Fluid Flow

Anand Radhakrishnan, Michael Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 69被引用 7

一句话总结

本文提出了一种使用多项式增强的多调和径向基函数（PHS-RBF）的非嵌套多水平无网格方法，用于求解传热与流体流动中的泊松方程。该方法采用基于RBF的插值实现独立生成的粗点集之间的限制与延拓，实现了快速收敛——尤其在结合GMRES求解所有-诺伊曼边界条件时表现更佳——展示了离散化误差的指数衰减特性，并在复杂几何结构中表现出稳健性能。

ABSTRACT

We present a non-nested multilevel algorithm for solving the Poisson equation discretized at scattered points using polyharmonic radial basis function (PHS-RBF) interpolations. We append polynomials to the radial basis functions to achieve exponential convergence of discretization errors. The interpolations are performed over local clouds of points and the Poisson equation is collocated at each of the scattered points, resulting in a sparse set of discrete equations for the unkown variables. To solve this set of equations, we have developed a non-nested multilevel algorithm utilizing multiple independently generated coarse sets of points. The restriction and prolongation operators are also constructed with the same RBF interpolations procedure. The performance of the algorithm for Dirichlet and all-Neumann boundary conditions is evaluated in three model geometries using a manufactured solution. For Dirichlet boundary conditions, rapid convergence is observed using SOR point solver as the relaxation scheme. For cases of all-Neumann boundary conditions, convergence is seen to slow down with the degree of the appended polynomial. However, when the multilevel procedure is combined with a GMRES algorithm, the convergence is seen to significantly improve. The GMRES accelerated multilevel algorithm is included in a fractional step method to solve incompressible Navier-Stokes equations.

研究动机与目标

• 开发一种用于复杂几何结构中泊松方程的无网格多网格求解器，且无需依赖嵌套网格。
• 解决在无网格RBF离散化中，点松弛求解器（如SOR）在所有-诺伊曼边界条件下收敛性差的问题。
• 通过RBF插值与多项式增强实现高阶精度与高效求解。
• 在分步格式中实现该方法以求解不可压纳维-斯托克斯方程。
• 在未来工作中将该方法扩展至三维及并行架构。

提出的方法

• 使用高阶多项式增强的多调和径向基函数（PHS-RBF）对泊松方程进行离散化，以实现离散化误差的指数衰减。
• 通过RBF对散乱点云进行局部插值，将PDE在每个点处配点，形成稀疏线性系统。
• 独立构建非嵌套的粗点集，避免依赖网格细化过程。
• 在精细与粗略层次之间使用基于RBF的插值实现限制与延拓算子。
• 对狄利克雷问题使用SOR作为光滑算子，对所有-诺伊曼问题使用带多水平预条件的GMRES。
• 在不可压流体的分步法中应用多水平预条件GMRES求解压力泊松方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用基于RBF插值的非嵌套多水平方法，能否在复杂域中实现无网格泊松方程离散化的最优收敛性？
• RQ2 为何标准SOR松弛在基于RBF的无网格方法中对所有-诺伊曼边界条件无法实现稳健收敛？
• RQ3 PHS-RBF中多项式阶次如何影响条件数与迭代求解器的收敛行为？
• RQ4 尽管条件数较高，使用GMRES的多水平预条件是否能恢复所有-诺伊曼问题的稳健收敛性？
• RQ5 该多水平RBF方法能否有效应用于求解不可压流模拟中的压力泊松方程？

主要发现

• 对于狄利克雷边界条件，基于SOR的多水平方法在所有测试几何结构与多项式阶次下均实现快速收敛。
• 对于所有-诺伊曼边界条件，随着多项式阶次增加，纯SOR的收敛性因条件数上升而恶化。
• 采用GMRES加速的多水平方法即使在高阶多项式下，也能实现快速且稳健的收敛。
• 离散化误差随点间距减小呈指数衰减，且至少具有(l−1)阶精度，该结论通过制造解测试得到验证。
• 该方法成功在分步法中求解了Kovasznay流与同心旋转圆筒间流动问题中的压力泊松方程，点数约为10,000个散乱点。
• 多水平预条件器保持了近乎与网格无关的收敛性，表明尽管网格非嵌套，仍表现出有效的多重网格行为。