[论文解读] A non-smooth continuous unitary representation of a Banach-Lie group

Daniel Beltiţă, Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Nov 26, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 9

一句话总结

该论文通过乘以 $ e^{if} $ 的方式，在 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上构造了 Banach-Lie 群 $ L^2([0,1],\mathbb{R}) $ 的连续酉表示，证明尽管表示是连续的，其光滑向量空间却是平凡的。关键贡献在于证明了即使在阿贝尔 Banach-Lie 情况下，无限维李群的酉表示的连续性也不蕴含光滑性。

ABSTRACT

In this note we show that the representation of the additive group of the Hilbert space $L^2([0,1],\R)$ on $L^2([0,1],\C)$ given by the multiplication operators $π(f) := e^{if}$ is continuous but its space of smooth vectors is trivial. This example shows that a continuous unitary representation of an infinite dimensional Lie group need not be smooth.

研究动机与目标

• 研究无限维李群的连续酉表示是否必然存在一个光滑向量的稠密子空间。
• 挑战在无限维李群表示背景下连续性蕴含光滑性的假设。
• 通过加法群 $ L^2([0,1],\mathbb{R}) $ 在 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上通过乘法算子作用，构造一个具体的反例。
• 证明该表示的光滑向量空间是平凡的，尽管表示是连续的。

提出的方法

• 在 $ \mathcal{H} = L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上定义酉表示 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $，其中 $ f \in L^2([0,1],\mathbb{R}) $。
• 通过证明有界 $ \xi $ 的轨道映射 $ \pi(\cdot)\xi $ 的连续性，并利用稠密性进行延拓，建立表示的连续性。
• 引入一族函数 $ f_\lambda(t) = |t - \lambda|^{-1/4} $，其中 $ \lambda \in [0,1] $，这些函数生成表示的一维子群。
• 将每个一维子群的光滑向量刻画为满足对所有 $ n \in \mathbb{N} $ 都有 $ f_\lambda^n \xi \in L^2 $ 的向量 $ \xi $。
• 通过反证法证明：对所有 $ \lambda \in [0,1] $，所有此类光滑向量空间的交集是平凡的，假设 $ f_\lambda^4 \xi \in L^2 $ 对所有 $ \lambda $ 成立。
• 利用 Lebesgue 点和测度论估计，推导出 $ \int_{\lambda-h}^{\lambda+h} |t - \lambda|^{-1} \chi_M(t) \, dt $ 的矛盾渐近界，若 $ \xi \neq 0 $，则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个无限维 Banach-Lie 群的连续酉表示是否都存在一个光滑向量的稠密子空间？
• RQ2 一个阿贝尔 Banach-Lie 群的连续酉表示是否可能不是光滑的？
• RQ3 在无限维李群的酉表示中，什么条件能保证非平凡光滑向量的存在？
• RQ4 在 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上的表示 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $ 中，光滑向量空间是否平凡？

主要发现

• 在 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 上的酉表示 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $ 是连续的，这通过有界 $ \xi $ 的轨道映射连续性及稠密性论证得以证明。
• 该表示的光滑向量空间是平凡的：$ \mathcal{H}^\infty = \{0\} $，即不存在非零光滑向量。
• 对每个 $ \lambda \in [0,1] $，一维子群 $ \pi_\lambda(t)\xi = e^{itf_\lambda}\xi $ 的光滑向量恰好是满足对所有 $ n \in \mathbb{N} $ 都有 $ f_\lambda^n \xi \in L^2 $ 的 $ \xi $。
• 若 $ \xi \in L^2 $ 满足对所有 $ \lambda \in [0,1] $ 都有 $ f_\lambda^4 \xi \in L^2 $，则 $ \xi = 0 $，该结论通过反证法结合 Lebesgue 点和测度估计得到。
• 矛盾源于对 $ \int_{\lambda-h}^{\lambda+h} |t - \lambda|^{-1} \chi_M(t) \, dt $ 的估计：一个界趋于 0，另一个趋于 2（当 $ h \to 0 $ 时），若 $ M $ 具有正测度，则这是不可能的。