[论文解读] A non-smooth trust-region method for B-differentiable functions with application to optimization problems constrained by variational inequalities

Constantin Christof, Juan Carlos De los Reyes+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文提出了一种非光滑信赖域方法，用于求解涉及B-可微函数的优化问题，特别是由第二类变分不等式约束的问题。通过表征约简目标函数的Bouligand次微分，该方法构建了一个可计算的信赖域模型，在适当假设下可保证收敛至C-稳定点。

ABSTRACT

We propose a non-smooth trust-region method for solving optimization problems with B-differentiable functions, with application to problems constrained by variational inequalities of the second kind. Under suitable assumptions on the model functions, convergence of the general algorithm to a C-stationary point is verified. For variational inequality constrained problems, we are able to properly characterize the Bouligand subdifferential of the reduced cost function and, based on that, we propose a computable trust-region model which fulfills the convergence hypotheses of the general algorithm. The article concludes with the experimental study of the main properties of the proposed method based on two different numerical instances.

研究动机与目标

• 开发一种专用于B-可微函数优化问题的信赖域方法。
• 解决由于非光滑性和非凸性而具有挑战性的第二类变分不等式约束优化问题。
• 表征此类约束问题中约简目标函数的Bouligand次微分。
• 设计一个满足通用算法收敛条件的可计算信赖域模型。
• 通过两个测试实例的数值实验验证该方法的性能。

提出的方法

• 该方法采用适用于非光滑、B-可微函数的信赖域框架。
• 其依赖于基于约简目标函数的Bouligand次微分构造的模型函数。
• 信赖域子问题通过确保充分下降并满足曲率条件的模型求解。
• 在模型函数的标准假设下，建立了收敛至C-稳定点的理论结果。
• 通过推导Bouligand次微分的显式表达式，将该方法专门应用于变分不等式约束。
• 基于次微分表征，提出一种可计算的信赖域模型，从而实现实际应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 非光滑信赖域方法能否有效应用于B-可微优化问题？
• RQ2 在变分不等式约束问题中，约简目标函数的Bouligand次微分应如何表征？
• RQ3 在该背景下，何种条件可确保信赖域方法收敛至C-稳定点？
• RQ4 能否构建一个满足收敛假设的可计算信赖域模型？
• RQ5 该方法在代表性测试问题上的数值表现如何？

主要发现

• 在模型函数的适当假设下，所提出的信赖域方法可收敛至C-稳定点。
• 针对变分不等式约束问题，明确表征了约简目标函数的Bouligand次微分。
• 基于次微分表征，推导出一种可计算的信赖域模型，支持实际实现。
• 数值实验表明，该方法能够有效处理非光滑性，并在两个测试实例中展现出良好的收敛行为。
• 该方法有效应对了变分不等式约束中非凸性和非光滑性带来的挑战。