[论文解读] A non-strictly hyperbolic system for the Einstein equations with arbitrary lapse and shift

Andrew M. Abrahams, Arlen Anderson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 1996

advanced mathematical theories被引用 9

一句话总结

本文为爱因斯坦方程构建了一个非严格双曲型的一阶系统，该系统对任意的 lapse 和 shift 函数均保持双曲性，确保在 Gevrey 类 𝛼=2 中具有适定的因果柯西问题。通过引入 lapse 的波动方程，系统变为拟对角双曲型，使其与先前的对称双曲型形式建立联系，并为数值相对论应用提供了稳健的框架。

ABSTRACT

We obtain a system for the spatial metric and extrinsic curvature of a spacelike slice that is hyperbolic non-strict in the sense of Leray and Ohya and is equivalent to the Einstein equations. Its characteristics are the light cone and the normal to the slice for any choice of lapse and shift functions, and it admits a well-posed causal Cauchy problem in a Gevrey class of index $α=2$. The system becomes quasidiagonal hyperbolic if we posit a certain wave equation for the lapse function, and we can then relate the results to our previously obtained first order symmetric hyperbolic system for general relativity.

研究动机与目标

• 开发爱因斯坦方程的一种双曲型形式，使其对 lapse 和 shift 函数的任意选择均保持有效。
• 确保该系统在 Gevrey 类索引 𝛼=2 中具有适定的因果柯西问题。
• 建立非严格双曲型系统与先前已知的对称双曲型形式之间的联系。
• 通过允许规范条件的灵活性，为数值相对论提供兼容的框架。
• 证明该系统的特征面在任意 lapse 和 shift 下均为光锥和空间超曲面的法向量。

提出的方法

• 推导空间度量和外曲率的一阶系统，使其在 Leray 和 Ohya 的意义下为双曲型，但非严格双曲型。
• 构建该系统，使其特征锥面为光锥和空间超曲面的法向量，且与 lapse 和 shift 无关。
• 使用 Gevrey 类索引 𝛼=2 来定义柯西问题适定的函数空间。
• 引入 lapse 函数的波动方程，将系统转化为拟对角双曲型。
• 通过引入的 lapse 波动方程，将所得系统与早期的对称双曲型形式联系起来。
• 验证在给定条件下，该系统等价于爱因斯坦方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种爱因斯坦方程的双曲型形式，使其对任意的 lapse 和 shift 函数均保持有效？
• RQ2 该系统是否在 Gevrey 类索引 𝛼=2 中具有适定的柯西问题？
• RQ3 非严格双曲型系统如何与数值相对论中使用的对称双曲型形式建立联系？
• RQ4 lapse 函数在从非严格双曲型向拟对角双曲型结构过渡中起什么作用？
• RQ5 该系统的特征面在所有规范选择下是否始终为光锥和空间超曲面的法向量？

主要发现

• 该系统在 Leray 和 Ohya 的意义下为双曲型，且对任意 lapse 和 shift 函数选择均保持如此。
• 该系统在 Gevrey 类索引 𝛼=2 中的柯西问题适定，确保了解的局部存在性和唯一性。
• 该系统的特征面为光锥和空间超曲面的法向量，且与规范选择无关。
• 通过在 lapse 上施加波动方程，系统变为拟对角双曲型，从而可与对称双曲型形式进行比较。
• 该形式与爱因斯坦方程等价，并为数值演化提供了一致的框架。
• 结果在非严格双曲型系统与广义相对论中既有的对称双曲型方法之间建立了桥梁。