[论文解读] A non-type (D) operator in c0

Orestes Bueno, B. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文构造了巴拿赫空间 $c_0$ 中首个已知的非类型 (D) 最大单调算子，解决了关于此类算子在包含 $\ell^1$ 或 $L^1$ 等距拷贝的子空间中限制的长期猜想。通过利用 Gossez 在 $\ell^1$ 上的算子，并在 $c_0$ 上定义其对偶算子，作者证明了 $c_0$ 不属于类型 (D)，并进一步表明，任何包含 $c_0$ 等距拷贝的巴拿赫空间也存在非类型 (D) 的算子。

ABSTRACT

Previous examples of non-type (D) maximal monotone operators were restricted to $\ell^1$, $L^1$, and Banach spaces containing isometriccopies of these spaces. This fact led to the conjecture that non-type (D) operators were restricted to this class of Banach spaces. We present a linear non-type (D) operator in $c_0$.

研究动机与目标

• 为反驳非自反巴拿赫空间若属于类型 (D) 则必含有 $\ell^1$ 或 $L^1$ 等距拷贝的猜想。
• 在 $c_0$ 上构造一个非类型 (D) 最大单调算子的具体例子。
• 建立在更大巴拿赫空间中通过等距嵌入保持非类型 (D) 算子存在性的性质。

提出的方法

• 通过定义线性、连续、反对称算子 $G: \ell^1 \to \ell^\infty$，其中 $G(x)_n = \sum_{i=n+1}^\infty x_i - \sum_{i=1}^{n-1} x_i$，该算子已知为最大单调且单射。
• 通过设定 $T(x) = \{ y \in \ell^1 \mid -G(y) = x \}$，在 $c_0$ 上构造对偶算子 $T: c_0 \rightrightarrows \ell^1$，该算子为点到点且在 $c_0$ 上最大单调。
• 通过证明其 Gossez 单调闭包 $\widetilde{T}$ 包含一点 $(x^{**}, x^*) \in X^{**} \times X^*$，该点无法在 $\sigma(X^{**}, X^*) \times$ 强拓扑下被 $\operatorname{Gr}(T)$ 中的有界网逼近，从而证明 $T$ 不属于类型 (D)。
• 利用存在一个网 $\{x^\tau\}$ 在二重空间中，使得对某个 $\widetilde{y} \in \ell^1$ 满足 $\langle \widetilde{y}, e \rangle > 0$，有 $(x^\tau, \tau \widetilde{y}) \in \widetilde{T}$，并证明存在多个不同的扩展，违反唯一性，从而推导出非类型 (D) 状态。
• 应用一般扩展定理，证明若 $X$ 允许非类型 (D) 算子，则任何包含 $X$ 等距拷贝的巴拿赫空间 $\Omega$ 也允许此类算子。
• 利用 $c_0$ 与 $\ell^1$ 之间的对偶性及其对偶空间结构，验证所构造的算子 $T$ 满足非类型 (D) 状态的必要不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不包含 $\ell^1$ 等距拷贝的 $c_0$ 空间中，是否存在非类型 (D) 的最大单调算子？
• RQ2 所有不含 $\ell^1$-拷贝的非自反空间是否均为类型 (D) 的猜想是否成立，特别是对 $c_0$？
• RQ3 在更大巴拿赫空间中通过等距嵌入保持非类型 (D) 算子存在的性质是否成立？
• RQ4 在非自反空间中，Gossez 的单调闭包是否可能不是唯一的最大单调扩展？
• RQ5 对偶空间结构在判断最大单调算子是否属于类型 (D) 的作用是什么？
• RQ6 是否存在系统性方法在非自反巴拿赫空间中构造非类型 (D) 算子？

主要发现

• 本文构造了一个线性、最大单调算子 $T: c_0 \rightrightarrows \ell^1$，其不属于类型 (D)，这是在 $c_0$ 中首次出现此类例子。
• 算子 $T$ 定义为 $-G$ 在 $c_0$ 中元素上的原像，其中 $G$ 是 $\ell^1$ 上已知的非类型 (D) 算子。
• 证明了 $T$ 不属于类型 (D)，因为其 Gossez 单调闭包 $\widetilde{T}$ 包含一点 $(x^{**}, x^*)$，该点无法在 $\sigma(X^{**}, X^*) \times$ 强拓扑下被 $\operatorname{Gr}(T)$ 中的有界网逼近。
• 通过一个网 $\{x^\tau\}$ 证明了 $T$ 在 $\ell^\infty$ 上存在多个不同的最大单调扩展，从而表明扩展不唯一，因此 $T$ 不属于类型 (D)。
• 本文证明了任何包含 $c_0$ 等距拷贝的巴拿赫空间 $\Omega$ 都存在非类型 (D) 的最大单调算子，将结果从 $c_0$ 本身推广至更广范围。
• 该结果反驳了非自反空间若不含 $\ell^1$-拷贝（如 $c_0$）则必属于类型 (D) 的猜想，表明此类空间仍可容纳非类型 (D) 算子。