[论文解读] A Nonlinear Finite Element Heterogeneous Multiscale Method for the Homogenization of Hyperelastic Solids and a Novel Staggered Two-Scale Solution Algorithm

Bernhard Eidel, Andreas Fischer+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Composite Material Mechanics参考文献 64被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于具有几何非线性的超弹性固体的非线性有限元异质多尺度方法（FE-HMM），引入了一种新颖的交错两尺度算法，该算法以微-宏求解的直接交替代替嵌套的牛顿迭代。该新算法在3D问题中实现了最高达2.0倍的加速，同时保持了鲁棒的收敛性，并在非线性范围内验证了线性FE-HMM的先验误差估计，其收敛速率与线性情况相当。

ABSTRACT

In this paper we address three aspects of nonlinear computational homogenization of elastic solids by two-scale finite element methods. First, we present a nonlinear formulation of the finite element heterogeneous multiscale method FE-HMM in a Lagrangean formulation that covers geometrical nonlinearity and, more general, hyperelasticity. Second, a-priori estimates of FE-HMM, which exist so far only for the fully linear elastic case in solid mechanics, are assessed in the regime of nonlinear elasticity. The measured convergence rates agree fairly well with those of the fully linear regime. Third, we revise the standard solution algorithm of FE$^2$ which is a staggered scheme in terms of a nested loop embedding the full solution of the micro problem into one macro solution iteration step. We demonstrate that suchlike staggered scheme, which is typically realized by a nested two-level Newton algorithm, can safely and efficiently be replaced by direct alternations between micro and macro iterations. The novel algorithmic structure is exemplarily detailed for the proposed nonlinear FE-HMM, its efficiency is substantiated by a considerable speedup in numerical tests.

研究动机与目标

• 开发一种非线性FE-HMM公式，用于在Lagrangian框架下处理超弹性固体中的几何非线性。
• 评估线性FE-HMM中现有的先验误差估计在非线性超弹性背景下的有效性。
• 通过基于嵌套牛顿迭代的标准化交错求解算法的改进，提升两尺度有限元方法的计算效率。
• 证明在每个宏观步骤中，微-宏迭代的直接交替比完全收敛的微求解更高效且更鲁棒。

提出的方法

• 在总Lagrangian框架下构建非线性FE-HMM，以处理超弹性固体中的几何与材料非线性。
• 通过微尺度有限元求解计算代表性体积元（RVEs）的有效材料性能。
• 提出一种新颖的交错求解算法，以微-宏迭代的直接交替替代标准的嵌套两层牛顿格式。
• 该算法避免在每次宏观迭代中将微问题求解至完全收敛，从而降低计算成本，同时保持收敛性。
• 通过数值测试将线性FE-HMM中的先验误差估计应用于非线性情形，以评估在超弹性条件下的收敛行为。
• 数值基准测试包括使用不同网格细化程度的2D和3D问题，材料为neo-Hookean和线弹性材料。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将为线性FE-HMM推导的先验误差估计可靠地推广到非线性超弹性的范畴？
• RQ2 在非线性范围内，FE-HMM的收敛行为是否与线性情况在收敛速率上保持一致？
• RQ3 能否在不损害收敛性或精度的前提下，用直接交替方案替代两尺度FEM中的标准嵌套牛顿算法？
• RQ4 在非线性均匀化中，以交替的微-宏更新替代嵌套牛顿迭代，可实现多大的性能提升？
• RQ5 在2D和3D问题中，该算法在大载荷步长和不同网格细化下是否具有鲁棒性？

主要发现

• 在非线性超弹性范围内的收敛速率与线性情况几乎完全一致，证实了先验估计在非线性设置下的鲁棒性。
• 所提出的交错算法在3D模拟中实现了1.7至2.0倍的加速因子，且在neo-Hookean问题中，微网格越细，加速效果越显著。
• 在不同网格组合下，平均加速因子超过1.8，即使在大载荷步长下也未出现收敛鲁棒性下降。
• 2D中观察到的最小加速因子为1.05，3D中为1.7，表明性能提升稳定且无减速风险。
• 新算法实现更简单，且无需在每次宏观迭代中实现完全的微求解收敛，显著降低了计算成本。
• 该方法可推广至FE2及其他两尺度方法，在耦合或非弹性问题中具有更广泛的应用潜力。