[论文解读] A nonlinear singular perturbation problem

А. Г. Рамм|ArXiv.org|May 3, 2004

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了希尔伯特空间中的一个非线性奇异摄动问题，其中限制方程解处的非线性算子的弗雷chet导数既不是弗雷德霍尔姆算子，也不是可逆算子。通过假设特定的预解式增长条件 $ olinebreak[4] olinebreakigracevert(A + \varepsilon)^{-1}\bigracevert \leq c\varepsilon^{-1}$，证明了解的存在性与收敛性 $ olinebreak[4] olinebreakigracevert u_\varepsilon - y\bigracevert \to 0$ 当 $ olinebreak[4] olinebreak\varepsilon \to 0$，且 $ olinebreak[4] olinebreakigracevert u_\varepsilon - y\bigracevert = O(\varepsilon)$，并建立了在小 $O(\varepsilon)$-邻域内的唯一性。该结果被应用于具有牛顿型核的非线性积分方程。

ABSTRACT

Let F(u_\ve)+\ve(u_\ve-w)=0 \eqno{(1)} where $F$ is a nonlinear operator in a Hilbert space $H$, $w\in H$ is an element, and $\ve>0$ is a parameter. Assume that $F(y)=0$, and $F'(y)$ is not a boundedly invertible operator. Sufficient conditions are given for the existence of the solution to \eqref{e1.1} and for the convergence $\lim_{\ve o 0}\|u_\ve-y\|=0$. An example of applications is considered. In this example $F$ is a nonlinear integral operator.

研究动机与目标

• 分析当弗雷chet导数 $F'(y)$ 不可逆或不是弗雷德霍尔姆算子时，非线性算子方程 $F(u_\varepsilon) + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$ 的解 $u_\varepsilon$ 沿 $ olinebreak[4] olinebreak\varepsilon \to 0$ 的收敛性。
• 在弱于标准可逆性条件的假设下，即 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert(A + \varepsilon)^{-1}\big\bracevert \leq c\varepsilon^{-1}$，其中 $A = F'(y)$，建立解的存在性与收敛性 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert u_\varepsilon - y\big\bracevert \to 0$。
• 将奇异摄动理论扩展至经典情形之外，即当 $F'(y)$ 不是同构或弗雷德霍尔姆算子时，特别关注 $F'(y)$ 为紧算子或具有奇异预解式增长的情形。
• 展示该理论在涉及牛顿势的非线性积分方程中的适用性，其中 $F(u) = \int_D \frac{u^3(s)}{4\pi|x-s|} ds$。

提出的方法

• 通过变量替换 $z_\varepsilon = u_\varepsilon - y$ 将方程 $F(u_\varepsilon) + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$ 转化为不动点问题，得到 $\phi(z_\varepsilon) + \varepsilon z_\varepsilon + \varepsilon(y - w) = 0$，其中 $\phi(z) = F(y + z)$。
• 利用泰勒展开 $\phi(z) = Az + K(z)$，满足 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert K(z)\big\bracevert \leq \frac{M_2\big\bracevert z\big\bracevert^2}{2}$，并将方程改写为 $z_\varepsilon = -A_\varepsilon^{-1}K(z_\varepsilon) - \varepsilon A_\varepsilon^{-1}(y - w)$，其中 $A_\varepsilon = A + \varepsilon I$。
• 在范数为 $R = O(\varepsilon)$ 的闭球 $B(0, R)$ 上应用沙德勒不动点定理，假设 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert(A + \varepsilon)^{-1}\big\bracevert \leq c\varepsilon^{-1}$ 且 $y - w = Av$，其中 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert v\big\bracevert$ 足够小。
• 通过估计 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert K(z) - K(v)\big\bracevert \leq \left(\frac{M_3 R^2}{6} + M_2 R\right)\big\bracevert z - v\big\bracevert$，证明不动点映射在小球内是压缩映射，从而得到小于1的压缩因子，适用于小 $\varepsilon$。
• 将抽象结果应用于具体非线性积分方程 $\int_D \frac{u^3(s)}{4\pi|x-s|} ds + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = f$（其中 $f = 0$），通过验证预解式条件并利用 $n=3$ 时 $H^1(D)$ 中的索伯列夫空间估计。
• 通过证明算子 $T(u) = -\varepsilon^{-1}F(u) + \varepsilon h$ 将半径为 $R = \varepsilon^{2/3}$ 的球映射到自身，且对小 $\varepsilon$ 是压缩映射，从而在 $H^1(D)$ 中建立存在性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $F'(y)$ 不可逆或不是弗雷德霍尔姆算子时，扰动方程 $F(u_\varepsilon) + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$ 的解 $u_\varepsilon$ 沿 $\varepsilon \to 0$ 收敛于 $y$ 的条件是什么？
• RQ2 经典奇异摄动理论能否扩展至线性化算子 $F'(y)$ 为紧算子或具有奇异预解式增长 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert(A + \varepsilon)^{-1}\big\bracevert \leq c\varepsilon^{-1}$ 的情形？
• RQ3 在不假设 $F'(y)$ 标准可逆性的情况下，$w$ 需满足何种条件，才能保证 $u_\varepsilon$ 的存在性与收敛性？
• RQ4 如何将抽象收敛结果应用于具有牛顿核的特定非线性积分方程？
• RQ5 此类情况下 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert u_\varepsilon - y\big\bracevert$ 的收敛速率是多少？是否可在小 $O(\varepsilon)$-邻域内建立唯一性？

主要发现

• 在条件 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert(A + \varepsilon)^{-1}\big\bracevert \leq c\varepsilon^{-1}$ 下，其中 $A = F'(y)$，且 $F$ 在 $y$ 的邻域内为三阶连续弗雷chet可微的紧算子，对所有充分小的 $\varepsilon > 0$，扰动方程的解 $u_\varepsilon$ 存在。
• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，收敛性 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert u_\varepsilon - y\big\bracevert \to 0$ 成立，且收敛速率为 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert u_\varepsilon - y\big\bracevert = O(\varepsilon)$，强于仅收敛。
• 在以 $y$ 为中心、半径为 $R = O(\varepsilon)$ 的球内，解的唯一性成立，前提是 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert v\big\bracevert < \frac{1}{2M_2 c(1 + c)}$，其中 $y - w = Av$，$c$ 为预解式界中的常数。
• 对于具体积分方程 $\int_D \frac{u^3(s)}{4\pi|x-s|} ds + \varepsilon(u_\varepsilon - w) = 0$，其中 $w = \varepsilon h$ 且 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert h\big\bracevert_{H^1(D)} = 1$，在所有 $\varepsilon \in (0, \varepsilon_0)$（$\varepsilon_0$ 充分小）下，$H^1(D)$ 中存在唯一解 $u_\varepsilon$。
• 解满足 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert u_\varepsilon\big\bracevert_{H^1(D)} = O(\varepsilon^{2/3})$，且当 $\varepsilon \to 0$ 时 $\nolinebreak[4] olinebreak\big\bracevert u_\varepsilon\big\bracevert_{H^1(D)} \to 0$，确认收敛于平凡解 $y = 0$。
• 通过选取 $R = \varepsilon^{2/3}$，在 $H^1(D)$ 中成功应用压缩映射原理，压缩因子为 $O(\varepsilon^{1/3})$，对小 $\varepsilon$ 小于1。