[论文解读] A nonlinear Stokes-Biot model for the interaction of a non-Newtonian fluid with poroelastic media I: well-posedness of the model

Ilona Ambartsumyan, Vincent J. Ervin+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 2

一句话总结

本文提出了一种非线性Stokes-Biot模型，通过Stokes方程耦合非牛顿流体流动与准静态Biot模型控制的多孔弹性介质，重点研究剪切变稀流体。该文为两种不同形式的模型建立了解的存在性与唯一性，为复杂介质中流体-多孔弹性相互作用提供了严格的数学基础。

ABSTRACT

We propose and analyze a model for solving the coupled problem arising in the interaction of a free fluid with a poroelastic medium. The flow in the fluid region is described by the Stokes equations and in the poroelastic medium by the quasi-static Biot model. The focus of the model is on quasi-Newtonian fluids that exhibit a shear-thinning property. We establish existence and uniqueness of the solution for two alternative formulations of the proposed model.

研究动机与目标

• 开发一种描述非牛顿流体与多孔弹性介质相互作用的数学模型，特别强调剪切变稀行为。
• 解决涉及非牛顿流变学的流体-多孔弹性系统耦合问题中缺乏适定性结果的不足。
• 通过存在性与唯一性分析，建立所提模型的数学有效性。
• 考虑耦合问题的两种不同变分形式，以确保理论框架的鲁棒性。

提出的方法

• 使用依赖于剪切速率的非线性黏度的Stokes方程建模流体流动，以捕捉剪切变稀行为。
• 通过准静态Biot模型表示多孔弹性介质，该模型耦合了多孔基质中的固相位移与流体压力。
• 在流体-多孔弹性界面处应用界面条件，包括速度与应力的连续性。
• 应用泛函分析技术，包括Banach不动点定理与Lax-Milgram引理，证明存在性与唯一性。
• 分析耦合系统的两种替代弱形式，以确保数学一致性与可解性。
• 使用适当的函数空间（如Sobolev空间）以确保解分量的正则性与可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个耦合模型，准确捕捉剪切变稀流体与多孔弹性介质之间的相互作用？
• RQ2 在适当的函数设定下，所提出的非线性Stokes-Biot模型是否具有唯一解？
• RQ3 两种不同的耦合问题变分形式在数学结构与可解性方面有何比较？
• RQ4 需要哪些数学工具才能为这种非线性、耦合系统建立存在性与唯一性？

主要发现

• 所提出的非线性Stokes-Biot模型成功地将Stokes方程与剪切变稀流体的准静态Biot模型耦合。
• 通过不动点论证与强制性估计，证明了第一种形式弱解的存在性与唯一性。
• 通过变分技术与inf-sup条件，第二种形式的存在性与唯一性也得以确立。
• 分析结果确认了在流体黏度与材料参数的标准假设下，耦合系统的数学适定性。