[论文解读] A nonlinear time compactness result and applications to discretization of degenerate parabolic-elliptic PDEs

Boris Andreïanov, Clément Cancès+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 53被引用 37

一句话总结

本文提出了一种基于补偿紧致性技术的新型离散时间紧致性结果，使得对退化抛物-椭圆PDE全离散格式的收敛性证明成为可能。该方法在时间步长可变且采用多步法（如BDF2）的情况下，实现了两点通量有限体积格式在 $L^r((0,T);L^2(\theta))$ 中的强收敛性。

ABSTRACT

We propose a discrete functional analysis result suitable for proving compactness in the framework of fully discrete approximations of strongly degenerate parabolic problems. It is based on the original exploitation of a result related to compensated compactness rather than on a classical estimate on the space and time translates in the spirit of Simon (Ann. Mat. Pura Appl. 1987). Our approach allows to handle various numerical discretizations both in the space variables and in the time variable. In particular, we can cope quite easily with variable time steps and with multistep time differentiation methods like, e.g., the backward differentiation formula of order 2 (BDF2) scheme. We illustrate our approach by proving the convergence of a two-point flux Finite Volume in space and BDF2 in time approximation of the porous medium equation.

研究动机与目标

• 为强退化抛物-椭圆PDE的全离散格式建立稳健的离散时间紧致性框架。
• 克服经典时间紧致性估计（如Alt-Luckhaus）在非线性和退化情形下的局限性。
• 实现对具有可变时间步长和多步时间格式（如BDF2）的格式的收敛性分析。
• 提供一种通用、即插即用的工具，适用于多种数值格式，而无需为每个问题重新推导紧致性论证。
• 证明两点通量有限体积格式结合BDF2时间离散化对poreous medium方程的收敛性。

提出的方法

• 提出一种基于补偿紧致性的离散泛函分析结果，避免使用经典的空间-时间平移估计。
• 改编了一种受Dubinskii和Kruzhkov启发的非线性时间紧致性原理，专用于离散设置。
• 通过质量矩阵的逆构造离散对偶测试函数 $\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{m}^{n}$，以控制时间导数。
• 采用格式的离散弱形式，其中各项分别表示时间、扩散和梯度贡献。
• 在离散 $L^p$ 空间中应用Fréchet-Kolmogorov紧致性准则，推导出强收敛性。
• 依赖于由格式结构和测试函数正则性导出的离散梯度和时间平移的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否提出一种通用的离散时间紧致性结果，以避免对时间平移进行问题特定的估计？
• RQ2 如何将补偿紧致性技术适配到具有可变时间步长和多步时间积分器的离散格式中？
• RQ3 是否能够证明两点通量有限体积格式结合BDF2时间离散化对退化抛物-椭圆PDE的收敛性？
• RQ4 在何种条件下可保证离散解在 $L^r((0,T);L^2(\theta))$ 中强收敛于连续解？
• RQ5 所提出的紧致性框架能否应用于强退化问题（如poreous medium方程）？

主要发现

• 所提出的离散时间紧致性结果可实现离散解在 $L^r((0,T);L^2(\theta))$ 中对所有 $r \in [1,\infty)$ 的强收敛性。
• 该收敛结果适用于具有可变时间步长和多步时间格式（如BDF2）的格式。
• 离散解序列 $\pi_{m}^{n}{\boldsymbol{u}}_{m}^{n}$ 强收敛于poreous medium方程的唯一弱解 $u$。
• 极限 $u$ 满足连续问题的弱形式，证实了格式的一致性。
• 证明依赖于三个离散项的收敛性：时间导数、扩散项和梯度校正项，其中后者在极限下趋于零。
• 该方法避免依赖经典 $L^2$ 或 $L^1$ 时间平移估计，为退化问题提供了更具弹性的替代方案。